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例-同軸ケーブルの磁場
今度は、同軸ケーブルの異なる領域の磁場を計算しましょう。
同軸ケーブルのBフィールド。 同軸ケーブルは、このような2つの同心円状の円筒領域、内側のコア、外側の円筒形のシェルで構成されています。 これらの導電性円筒領域は、互いに絶縁媒体によって分離されており、これらの円筒の一つが一方向に電流を運ぶように、それはiサブaとして内核を流れる電流と呼ばれています。
このケーブルにいくつかの寸法を与えると、この半径がa、外側の円筒シェルの内側の半径がb、他の円筒シェルの外側の半径がcとしましょう。
したがって、電流はこれらのシリンダーを逆方向に流れているので、そのようなケーブルの磁場を異なる領域で決定したいと思います。 私たちの関心点、中心までの距離が半径aよりも小さいような領域から始めましょう。
このケースをトップビューから見てみましょう。ここでは、断面の観点から内筒と外筒のシェルがあり、内筒は電流iサブaを平面から運び、外筒は電流iサブbを平面に運んでいます。
ここでも、内筒の半径はaであり、この半径はbであり、外側領域の半径はcです。 私たちの最初の関心領域は、ポイントaのポイントが内筒の内側にあることです。 ここのどこかで、中心から少し離れたこの場所で磁場を見つけるために、その点を通過する磁力線と一致する円の形で経験的ループを配置し、このループを最初の領域のc1と呼びましょう。
そして、empire/s lawは、このループc1に統合されたdlのBは、このループc1に囲まれた領域または表面を通過する正味電流のneu0倍に等しくなると言います。
前の例で行ったように、このようなループはempire’s lawを適用する条件を満たし、磁場は磁力線に接し、その磁力線は選択しているループと一致し、dlはこのループに沿った増分変位要素であるため、bとdlの間の角度は常に0度になります。
だから、左辺は私たちにbの大きさ、dlの大きさの倍の余弦を与え、ループc1上で積分され、neuに等しくなります0回私は囲まれました。
0のコサインは1であり、ループはその点を通過する磁力線と一致し、その磁力線上にいる限り、同じ磁場の大きさが表示されるため、bはこのループ上 したがって、大きさは一定であるので、我々は積分の外にそれを取ることができ、したがって、我々はループc1上のdlのb倍積分で終わる左側は、neuに等しい0回
Integral of c1,integral of dl,over loop c1は、その円の円周であるそのループの長さを与え、その円の半径の2pi倍に等しくなります。r回bはneu0回に等しくなります。
このループcに囲まれた領域を通過する正味電流が囲まれているので、それが表面です。 ループcはこの緑の影付き領域を取り囲んでいます内部表面全体を流れる電流はiサブaですこれは基本的にこの領域全体をカバーしていますこの緑の影付き領域を流れる正味の電流を得るために電流密度を定義します単位断面積あたりの電流であり、その電流密度にループcで囲まれた領域を掛けると、その表面を通過する電流量が得られます。
したがって、我々は上に移動する場合、我々はb回2pirを持つことになります、これは私が囲まれたneu0回に等しい左側です、ここで、この場合、私は囲まれたJ回に等しいその領域の面積、pirの二乗であり、ここで電流密度は、総電流iは、このワイヤの総断面積で割ったものであり、それはpi倍の正方形である。
だから、b回2pirはneu0回になるだろう、私は囲まれたところ、私たちはpiaの正方形の上にiを持っています、これは内筒を流れる電流の電流密度であり、これは内筒を流れる電流の量をiサブaとして定義したので、ここで添字aを使用する必要があります。Iサブaオーバー piaの正方形は私たちに電流密度を与えるだろうし、この単位面積あたりの電流に関心のある領域の面積を掛けた場合、pirの二乗であり、我々は終了しますその表面を通過する総電流で上昇します。
ここで、このpiとそのpiはキャンセルされ、左側のrでこれらのr正方形のいずれかをキャンセルすることができ、bだけを残して、neu0iサブaを2pia平方倍rで割ったものとして内筒の内部の磁場になります。
そして、もちろん、これは以前に円筒状のワイヤを運ぶ電流の磁場プロファイルを取得するために行った例と同じ結果です。
さて、第二の領域として、私たちの関心のあるポイントが二つのシリンダーの間にある領域の磁場を考えてみましょう。 換言すれば、ｒは、ｂよりも小さく、ａ領域よりも大きい。
その地域を見ると、この部分について話していますが、この部分では、私たちの関心のあるポイントがここのどこかにあるとしましょう。 ここでも、閉ループを選択します。 この場合、これをc2と呼びましょう。pのポイントを通過する磁力線と一致します。
そして、その領域のために、これは現在のiサブbを平面に運んでいる私たちの外側の円筒形のシェル領域です。 さて、この領域については、再び、我々はその点を通過する磁力線と一致するこのループを選択すると、アンペアの法則を適用するための条件を満たすことになり、したがって、アンペアの法則の左側は、前の部分と同じになり、その私たちに今ループc2上に統合bノートdlを与えるだろう、これはneu0に等しい私が囲まれています。 左側は、再び、私たちを与えるために起こっているb回2pir。 もちろん、今、距離、小さなrは、この地域の中心からこの点までの距離です。
そして右側、この場合、今、私たちはループc2で囲まれた領域を通過する正味電流を見るつもりです、つまり、ループc2で囲まれた領域、それはこの黄色a. したがって、右側にはneu0回iサブaがあり、磁場を解くと、この領域に対してneu0iサブaが2pir以上になります。
だから、これはケースであり、そのrはbとaの間にあり、前の部分では、rがaより小さいような領域の磁場を計算しました。
さて、前方に移動して、他の円筒形のシェルの内部の磁場を計算しましょう。 したがって、この場合、rがcとbの間にある領域でbについて話しています。
言い換えれば、今、私たちはこの他の円筒形の殻の内部領域に興味があります。 この場合、私たちの関心のポイントはここのどこかにあると仮定しましょう。
ここでも、その点を通る磁力線と一致するように経験的ループを選択するので、再び円の形になり、その半径rは中心から測定され、これを指します。
ここで、このループをc3と呼びましょう。 ここでも、左側の計算は前の部分と同様になります。 このループは、アンペアの法則を適用するための条件を満たします。 磁場の大きさはこのループに沿ってどこでも一定であり、bとdlの間の角度は0になります。
だから、アンペアの法則は、bドットdlであり、私が囲まれたneu0に等しいループc3上に統合され、最終的に私たちを与えるだろう、上記と同じ左辺のために、私たちにd回dpirを与え、右側に私たちはneu0回私が囲まれているでしょう。
ここでは、ループc3に囲まれた領域を通過する正味の電流について話しています。 その領域を見るとまずこの領域について話していますこの青い影の領域では内筒全体または内筒を流れる電流がその領域を通過していることがわかります他の円筒形のシェルでは円筒のこの部分だけが磁場に寄与していることがわかりますこの特定の表面の側である領域を流れる電流が関心を持っているからです。
したがって、iサブaが面外に流れ、iサブbが面内に流れているので、正味電流は基本的にこれら2つの電流の差になります。 これを表現するためには外殻に関連する電流密度を表現する必要がありますそれはその殻を流れる総電流ですそれはiサブbです導体の総断面積で割ったものです外殻について話していますその外殻の総断面積はこの大きな円筒形の殻の面積です シリンダーこの小さなシリンダーの面積を引いたものです。
だから、言い換えると、それはpic squaredマイナスpib squareに等しくなり、その部分、この式は、外筒の電流密度に等しくなります。
そして、この密度に関心領域をかけると、その領域を流れる正味の電流が得られます。 言い換えれば、この青い影のある領域、影のある領域の面積と電流密度の積を取ると、その表面を流れる正味の電流が得られ、それは基本的にpirの二乗
私は囲まれたようにそれを書くことによって、この式を単純化することができますiサブaマイナスiサブb上pi括弧c二乗マイナスb二乗回pi回r
ここでpisはキャンセルされますので、私はこの量に等しくなります同封しました。 その後、b回2pirはneu0回iに等しくなり、それはiサブaマイナスr平方マイナスb平方、iサブbをc平方マイナスb平方で割ったものです。
磁場を得るためには、方程式の左側にその量だけを残しておくので、bはneu0に等しくなります2pir回iサブaマイナスiサブb回r平方マイナスb平方、c平方マイナスb平方で割った括弧に等しい。
だから、外側の円筒殻の内部では、磁場の大きさはこの量に等しくなるだろう。 もちろん、磁場の正味の方向は、時計回りであろうと反時計回りであろうと、これらの電流の大きさに依存し、これはrがcとbの間にある領域です。
最後の領域は、この同軸ケーブルの外側の領域です。 この図に戻ります興味のある点がここのどこかにあることについて話していますそして再び経験的ループを選択することによって関心のある点を通過し、その点pを通過する磁力線と一致していますそれは中心から離れたr距離です。
アンペアの法則の左側は、このループをc4と呼びましょう、この場合のアンペアの法則は、bノートdl統合ループc4になります。neu0回私が囲まれたと呼ばれ、左側は、再び、私たちにb回2pirを与える前の部分と同様になり、それはに等しくなります、私は今囲まれたため、私たちの図を見てみましょう、私たちは今で囲まれた領域を通過する正味電流について話しています。そして、それは私たちがこの領域全体について話しているループc4、に囲まれている、と我々は簡単に全体があることを見ることができます 同軸ケーブルを通過する電流はこの点を通過し、この表面を通過しており、iサブaは平面から出ており、iサブbは平面に入っています。
この結果、経験的ループc4に囲まれた領域を通過する正味の電流は、反対方向に流れているので、iサブaマイナスiサブbに等しくなります。したがって、右側にはneu0回iサブaマイナスiサブbがあり、磁場を解くとneu0 2pir回iサブaマイナスiサブbの最終的な表現になります。
これがこの同軸ケーブルの外側で発生する磁場です。 それはrがcより大きい領域に対するものです。
大丈夫です。 まあ、iサブaがiサブbに等しい場合、これらの2つの電流が反対方向に流れているので大きさが等しい場合、囲まれた値は0に等しくなります。 これは、同軸ケーブルの外側の磁場がrがc領域よりも大きい場合に0になることを意味します。