サーフェス(トポロジー)

“表面を開く”はここにリダイレクトされます。それは自由な表面と混同されるべきではないです。

閉面とは、コンパクトで境界のない面のことです。例としては、球、トーラス、クライン瓶のような空間があります。非閉じた表面の例としては、穿刺を伴う球である開円板、二つの穿刺を伴う球である円柱、およびメビウスストリップがある。任意の閉多様体と同様に、継承されたユークリッド位相に関して閉であるユークリッド空間に埋め込まれた曲面は、必ずしも閉曲面であるとは限らない; 例えば、r3{\displaystyle\mathbb{R}}に埋め込まれたディスク} ^{3}}

$\その境界を含むmathbb{R}3 3$

は、位相的に閉じているが閉じていない表面です。

クローズドサーフェスの分類編集
Monoid structureEdit
境界を持つ曲面編集
リーマン面編集
非コンパクトなサーフェス編集
第二可算でさえない曲面編集
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クローズドサーフェスの分類編集

向き付け可能な閉じたサーフェス（左）と境界を持つサーフェス（右）のいくつかの例。左：いくつかの向き付け可能な閉じた表面は、球の表面、トーラスの表面、および立方体の表面です。（立方体と球は互いに位相的に等価である。）右: 境界を持ついくつかの表面は、円盤表面、正方形表面、および半球表面である。境界は赤で示されています。これらの3つはすべて互いに位相的に等価です。

閉曲面の分類定理は、任意の連結閉曲面は、これら3つの族のうちの1つの元に同相であると述べている。:

はg≥1に対するgトーリの連結和、
はk≥1に対するk個の実射影平面の連結和である。

最初の二つの族の表面は向き付け可能である。球面を0のトーリの連結和とみなすことによって、二つの族を組み合わせることが便利である。トリの数gは表面の属と呼ばれています。球面とトーラスはそれぞれオイラー標数2と0を持ち、一般にgトーラスの連結和のオイラー標数は2−2gである。

第三族の曲面は向き付け不可能である。実射影平面のオイラー標数は1であり、一般にそれらのkの連結和のオイラー標数は2−kである。

閉曲面は、同相写像まで、そのオイラー標数と向き付け可能であるかどうかの二つの情報によって決定されることになる。言い換えると、オイラー標数と向き付け可能性は閉曲面を同相写像まで完全に分類することができる。

複数の連結成分を持つ閉面は、それぞれの連結成分のクラスによって分類されるため、一般的には曲面が連結であると仮定する。

Monoid structureEdit

この分類を連結和に関連付けると、同相写像までの閉曲面は、実際には任意の固定次元の多様体と同様に、連結和の演算の下で可換モノイドを形成する。単位元は球であるが、実射影平面とトーラスはこのモノイドを生成し、単一の関係P#P#P=P#Tを持ち、これはK=P#Pであるため、P#K=P#Tと書くこともできる。この関係は、(Dyck1888)でそれを証明したWalther von DyckにちなんでDyckの定理として知られることがあり、三重十字曲面P#P#PはDyckの曲面と呼ばれています。

幾何学的には、connect-sum with a torus(#t)は両端が面の同じ側に取り付けられたハンドルを追加し、connect-sum with A Klein bottle(#K)は、向き付け可能な面の反対側に取り付けられたハンドルを追加します; 射影平面（＃P）の存在下では、表面は向き付けられない（辺の概念はない）ので、トーラスを取り付けることとKleinボトルを取り付けることの間に違いはありません。

境界を持つ曲面編集

コンパクト曲面、おそらく境界を持つ曲面は、有限の数の穴（除去された開円板）を持つ単純な閉じた曲面である。したがって，連結コンパクト曲面は，境界成分の数と対応する閉じた曲面の種数によって分類される。コンパクト曲面の種数は、対応する閉じた曲面の種数として定義される。

この分類は、閉じた表面の分類からほぼすぐに続きます: 閉曲面から開円板を除去すると、境界成分の円を持つコンパクトな表面が得られ、k個の開円板を除去すると、境界成分のk個の互いに素な円を持つコンパクトな表面が得られる。同相写像群は少なくとも2次元の任意の連結多様体上でk-推移的に作用するので、穴の正確な位置は無関係である。

逆に、コンパクト曲面の境界は閉1-多様体であり、したがって有限個の円の互いに素な和集合であり、これらの円を円板で満たす（形式的には円錐を取る）と閉曲面が得られる。

種数gとkの境界成分を持つ唯一のコンパクト配向曲面はしばしばΣ g,k,{\displaystyle\Sigma_{g,k}}と表される。},}

$\Sigma_{{g,k}},$

は、例えば写像クラス群の研究である。

リーマン面編集

リーマン面は複素1-多様体である。したがって、純粋に位相的なレベルでは、リーマン面はこの記事の意味で向き付け可能な面でもあります。実際、すべてのコンパクトな向き付け可能な曲面はリーマン面として実現可能である。したがって、コンパクトなリーマン面は、その種数0,1,2,によって位相的に特徴付けられる。… 一方、属は複雑な構造を特徴付けるものではない。例えば、種数1の非同型コンパクトリーマン面（楕円曲線）が無数に存在する。

非コンパクトなサーフェス編集

非コンパクトなサーフェスは分類がより困難です。簡単な例として、非コンパクト曲面は、閉じた多様体をパンクチャリング（から有限の点の集合を取り除く）することによって得ることができる。一方、コンパクト曲面の任意の開部分集合はそれ自体非コンパクト曲面であり、例えば、球面内のカントール集合の補集合を考えて、他にはカントール木曲面として知られている。しかし、すべての非コンパクト曲面がコンパクト曲面の部分集合であるわけではなく、2つの標準的な反例は、無限種数を持つ非コンパクト曲面であるJacob’s ladderとLoch Ness monsterである。

非コンパクト曲面Mは、端部E(M)の空でない空間を持ち、これは非公式に言えば、曲面が「無限大になる」方法を記述する。空間E(M)は常にカントール集合の閉部分空間と位相的に同値である。 Mは有限個または可算無限個のハンドルのNhと、射影平面の有限個または可算無限個のNpを持つことができる。 NhとNpの両方が有限であれば、これらの2つの数と、端の空間の位相型は、表面Mを位相的同値まで分類する。 NhとNpのいずれかまたは両方が無限大であれば、Mの位相型はこれら2つの数だけでなく、無限のものが端の空間にどのように近づくかにも依存する。一般に、mの位相型は、無限に多くの取手と無限に多くの射影平面の極限点、取手のみの極限点、およびどちらもの極限点であるE(M)の4つの部分空間によ

第二可算でさえない曲面編集

曲面の定義から第二可算性の仮定を取り除くと、それらの位相のための可算基底を持たない（必然的に非コンパクト）位相曲面が存在する。おそらく最も簡単な例は、実数の空間との長い線のデカルト積です。

そのトポロジーのための可算基底を持たないが、その存在を証明するために選択の公理を必要としない別の曲面は、それが実解析的曲面であることを示す簡単な方程式によって記述することができるプリューファー多様体である。プリューファー多様体は、各実数xに対して点(x,0)の真下に垂れ下がっている一つの追加の”舌”Txとともに上半平面と考えることができる。

1925年、ティボル-ラドーはすべてのリーマン面（すなわち一次元複素多様体）が必然的に第二可算であることを証明した（ラドーの定理）。対照的に、プリューファー曲面の構成における実数を複素数に置き換えると、可算基底を持たない二次元複素多様体（必然的に4次元実数多様体）が得られる。

ProofEdit

閉曲面の分類は1860年代から知られており、今日では多くの証明が存在する。

位相的および組合せ的証明は、すべてのコンパクトな2-多様体がそれ自身の権利に関心のある単純な複合体に同相であるという困難な結果に依分類の最も一般的な証明は(Seifert&Threlfall1934)harv error:no target:Citerefseifertthrelfall1934(help)であり、これはすべての三角形分割された表面を標準形にします。標準形式を回避する単純化された証明は、1992年頃にジョン-H-コンウェイによって発見され、”ゼロ見当違い証明”または”ZIP証明”と呼ばれ、(Francis&Weeks1999)に提示されている。

より強い幾何学的結果をもたらす幾何学的証明は、一様化定理である。これはもともと1880年代と1900年代にFelix Klein、Paul Koebe、およびHenri Poincaréによってリーマン面についてのみ証明されました。