ここでは、少なくとも初心者のために、クリストッフェルのシンボルを考えるための最良の方法です。
基礎となる多様体、すなわち時空の中でベクトルがある点から別の点にどのように変化するかを知りたいとします。 言い換えれば、ベクトルフィールドを区別したいとします。 計算でベクトルフィールドの変更を登録する理由は2つあります:
- ベクトル自体は、実際にはある点で他の点とは異なる場合があります。
- ベクトルは、2つの点で異なる基底ベクトルを使用して記述される場合があります。 （基礎を変更すると、記述しているものの構成要素が変更されます。)
ある点から別の点へのベクトルの値で検出された変更は、これらのソースのいずれかまたは両方からのものである可能性があります。
重要な点は、時空内である点から別の点に移動するときにベクトル（体）が変化したかどうかを評価するとき、実際のベクトル自体に発生した可能性のある変更に加えて、あなたの基底（すなわち座標系）が途中で変化したという事実を説明するために、あなたの数学に何かが必要であるということです。
通常の偏導関数はこれを行いません。 それはちょうど基礎が変わらないことを前提としています。 しかし、最も一般的なケースでは、基底ベクトルが変化します。 これを説明するために、通常の偏微分を共変微分と呼ばれるものに置き換えます。 基底の変化から生じる変化を追跡する共変微分の部分はクリストッフェル記号である。 それらは、基底ベクトル自体の方向に沿って移動するにつれて基底ベクトルがどのくらい変化するかをエンコードします。
これは一般相対性理論でどのように役立つのですか？ これは、GRが重力を時空多様体の曲率としてモデル化し、この曲率に関する情報がChristoffel記号で符号化されているためです。
しかし、Christoffelシンボルが基底に依存している場合（そして、それらが異なる座標系/基底ベクトルがChristoffelシンボルに対して異なる値を与えると言っただけ）、基になる多様体の曲率に関する情報をどのように与えることができますか？
クリストッフェルの記号は曲率を直接与えません。 これまでに述べたことから、Christoffelシンボルが同じようにゼロであるためには、基底ベクトルは点から点へ行くにつれて変化してはならないことは明 これは、基底の変化を考慮しないことによって、ベクトル場にスプリアスな変更を導入しないことを意味します。
認識することが重要な二つのこと:
-
ゼロ以外のクリストッフェル記号は多様体が曲率を持つことを意味しない。 それが意味するのは、長さや方向を点から点に変える基底ベクトル場を使用していることだけです。 一般的な例は、平面上の極座標です。 これらの基底ベクトルは点から点へと変化します。theta方向の基底ベクトルは、半径方向の原点から遠くなるほど長くなります。 これは、少なくともゼロ以外のChristoffelシンボルがあることを意味します。 しかし、明らかに空間は湾曲していません。
- クリストッフェル記号の消失は、空間に曲率がないことを意味するものではありません。 それはあなたが測地線として知られている軌道に沿って移動していることを意味するかもしれません。 （これは、通常の平らな空間を通る直線の一般化であり、”二つの点間の最短距離”である。’)これの物理的な対応は自由落下です。
クリストッフェル記号は共変微分を定義することができるからである（すなわち、 基底ベクトルがどのように変化するかを考慮に入れた導関数）、それはベクトルの’平行輸送’を定義することを可能にする。 すなわち、Christoffel記号は、ベクトルが「それ自身と平行に」とどまるように、ある点から別の点にシフトされると言うことが何を意味するのかを教えてくれます。 ‘それ自身と平行’はちょうど’共変微分が消える’ことを意味します。
曲率の定義（少なくともそのうちの1つ）は、この平行輸送過程に依存し、これは共変微分によって可能になり、これはクリストッフェル記号によって可
基本的な考え方は、ループ上でベクトルを並列輸送する場合（つまり、出発点に戻る）、必ずしも開始したのと同じベクトルになるとは限らないというこ これは、ベクトルを「自己平行」な方法で輸送したにもかかわらず、当てはまります。 曲率の重要な事実は、最初のベクトルとは異なるベクトル（曲率がゼロの場合に発生する可能性があります）で終わるだけでなく、最終的にどのベク したがって、パスaとbに沿ってベクトルを「平行」に輸送すると、2つの異なるベクトルが開始したベクトルに「平行」になります。 それが起こるならば、定義によってあなたの空間は湾曲しています。
要約すると、平らな空間と湾曲した空間の違いは次のように置くことができます：平らな空間では、クリストッフェル記号がどこでも消える座標系、すなわ 湾曲した空間では、これは不可能です。 あなたができれば、それだけで湾曲しないだろうという理由だけで、すべてのクリストッフェルのシンボルは、湾曲した空間で消えることはできません。 それは平らになるでしょう！
これは物理学と何が関係しているのでしょうか？ まあ、あなたはゴムシートの類推などを使って、時空の曲率から生じると重力を考えることができます。 しかし、私は重力を、基礎となる時空がどのように異なる点で異なる基底ベクトルを使用するように強制するかを修正する必要性から単に生じると 相対性理論では、「基底の変化」の物理的対応物は運動の状態の変化である。 基底の変化だけから生じる用語がベクトルについての実際の事実を反映していないのと同じように-私たちがベクトルを記述する方法の人工物
これはアインシュタインのガリレオの相対性理論の革命的な考えの拡張の中心です-物理学の法則は、あなたの動きの状態に関係なく、彼らが何であ あなたの動きの状態に依存するものは事実ではなく、人工物であり、そのように却下されるべきです。 これにより、アインシュタイン（および他の人）は、宇宙の真の法則は、座標系/運動状態に関係なく真実を保持するものでなければならないという考えに クリストッフェル記号は、運動のすべての状態に当てはまるようにする方程式の項として見ることができます。
だからある意味では、重力の存在は、あなたがどのように動いていても物理学の法則が同じであることを意味し、重力がそのように動作しなければ、異なる観測者が彼らの偏狭な視点に応じて異なる法則を定式化する（そしてその逆）という意味で、重力の存在はどちらも同じであると言うことができる。