“David Hilbert
無限を熟考するよりも、孤立して過ごす方が良い方法は何ですか？ おそらく数学の中で最も簡単で最もエレガントな証明を証明しましょう：Cantorの定理。
私はシンプルでエレガントな、しかし簡単ではないと言いました！
パートI: 問題を述べる
カントールの定理は、集合の要素をその部分集合との一対一の対応（”ペアリング”）に入れることができるかどうかの問題に答えます。 （技術的に言えば、”全単射”）。 この種の問題は、”基数”と呼ばれる数学的概念に関係しています。 私たちは、セット内のすべての要素が別のセットでそのロマンチックな一致を見つけるためにしたいが、一夫多妻制を避けたい、と私たちは数学的
たとえば、集合{1,2,3}には3つの要素があります: 1, 2, 3.
8つのサブセットがあります: {1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3}, {1,3}, {}, {1,2,3}
ここで、{}は’空集合’として知られています。 それはあなたが不快になる場合は、今のところ喜んでそれを無視することができます：それは重要ではありません。 また、あなたが小さな袋にボールを置くことができるさまざまな方法として1,2,3とサブセットの番号三つのボールとして上記を表示します。 空のセット：あなたが行うことができます一つのことは、袋に何も入れていません。
これまでのところ、そう*簡単*。 結局のところ、有限集合の場合、これは非常に明白であることが判明しました。 集合がN個の要素を持つ場合、部分集合の集合は2つの**n個の要素を持つ。 上記の集合{1,2,3}には3つの要素とサブセットの集合があります（読むのは一口で混乱しますが、自分自身を混乱させるための例を見てください！）は8つの要素を持つ。 8 = 2*2*2 = 2**3 約束した通りだ
***”サブセットの集合”という文は少し難しいかもしれません。 もう少し快適に感じるためには、まずサブセットが賢明な数学的オブジェクトであることを保証してください。 数学的なオブジェクトがいくつかある場合は、それらのいくつかをグループ化して他のものを除外することができます。 元のセットをすべてのサッカー選手として表示し、サブセットのセットを任意のサイズのプレーヤーから作成できるすべての潜在的なチームとして表示 「無限の」数のプレイヤーに到達すると、概念化が少し難しくなりますが、基本的な考え方は同じです。***
しかし、カンターは彼の視力をより大きく設定していた。 無限の数の要素を持つ集合はどうですか？ 無限の数の要素と2つのセットのサイズを比較できますか？ （ネタバレ：はい。ステップII：証明
Cantorは、あなたがうまくいくペアを見つけたと仮定します。
つまり、セットの要素に入れる関数があり、出力はサブセットです。 それだけでなく、すべてのサブセットについて、関数によってそのサブセットに”マップされた”または”送信された”要素を指すことができます。 また、2つの要素が同じサブセットに送信されることはありません。
上記の例では、誰かが1を集合{1}に、2を集合{2,3}に、3を集合{1,2}に送る関数を提案するかもしれません。 しかし、何も{1,2,3}に送信されないので、明らかにこれは機能しません。
これを一般化するために、Cantorは’マッピングされているサブセットに含まれていない要素の集合’を考慮するように求めます。 たとえば、上記の3は{1,2}に送信されますが、3は{1,2}にはないので、基準にうまく適合します。
私たちの数学的集合論的デート関数では、この集合にもパートナーが必要です。 しかし、誰がこのセットのパートナーになることができますか？ 要素がこのセットに送信された場合、それがそのセットに含まれている場合、それはできません。 （すなわち矛盾）。 どうして？ それは、それがマップされた要素のサブセットに含まれているためです！ それがそのセットにない場合はどうですか？ そして、それも矛盾であり、それが集合に含まれていないかのように、集合の定義によって、それがマップされている部分集合に含まれていないので、
そして、カントールの黒魔術が行われます。 私たちの魔法の数学的なデート関数が働いたと仮定することによって、私たちはそれがうまくいかなかった例を見つけました。