Una superficie chiusa è una superficie compatta e senza confini. Esempi sono spazi come la sfera, il toro e la bottiglia di Klein. Esempi di superfici non chiuse sono: un disco aperto, che è una sfera con una puntura; un cilindro, che è una sfera con due forature; e la striscia di Möbius. Come con qualsiasi collettore chiuso, una superficie incorporata nello spazio euclideo che è chiusa rispetto alla topologia euclidea ereditata non è necessariamente una superficie chiusa; ad esempio, un disco incorporato in R 3 {\displaystyle \ mathbb {R} ^{3}}
che contiene il suo limite è una superficie topologicamente chiusa, ma non una superficie chiusa.
Classificazione delle superfici chiusemodifica
Il teorema di classificazione delle superfici chiuse afferma che il collegamento a qualunque superficie chiusa è homeomorphic a qualche membro di una di queste tre famiglie:
- la sfera,
- collegato somma di g tori per g ≥ 1,
- collegato somma di k reale piani proiettivi per k ≥ 1.
Le superfici delle prime due famiglie sono orientabili. È conveniente combinare le due famiglie considerando la sfera come la somma connessa di 0 tori. Il numero g di tori coinvolti è chiamato il genere della superficie. La sfera e il toro hanno le caratteristiche di Eulero 2 e 0, rispettivamente, e in generale la caratteristica di Eulero della somma connessa di g tori è 2 − 2g.
Le superfici nella terza famiglia non sono orientabili. La caratteristica di Eulero del piano proiettivo reale è 1, e in generale la caratteristica di Eulero della somma connessa di k di essi è 2 − k.
Ne consegue che una superficie chiusa è determinata, fino all’omeomorfismo, da due informazioni: la sua caratteristica di Eulero e se è orientabile o meno. In altre parole, la caratteristica e l’orientabilità di Eulero classificano completamente le superfici chiuse fino all’omeomorfismo.
Le superfici chiuse con più componenti collegati sono classificate in base alla classe di ciascuno dei loro componenti collegati, e quindi si presume generalmente che la superficie sia collegata.
Struttura monoideedit
Correlando questa classificazione alle somme connesse, le superfici chiuse fino all’omeomorfismo formano un monoide commutativo sotto l’operazione della somma connessa, come in effetti fanno i collettori di qualsiasi dimensione fissa. L’identità è la sfera, mentre il piano proiettivo reale e il toro generano questo monoide, con una singola relazione P # P # P = P # T, che può anche essere scritta P # K = P # T, poiché K = P # P. Questa relazione è talvolta conosciuta come teorema di Dyck dopo Walther von Dyck, che lo dimostrò in (Dyck 1888), e la superficie tripla croce P # P # P è di conseguenza chiamata superficie di Dyck.
Geometricamente, connect-sum con un toro (#T) aggiunge una maniglia con entrambe le estremità attaccate allo stesso lato della superficie, mentre connect-sum con una bottiglia di Klein (#K) aggiunge una maniglia con le due estremità attaccate ai lati opposti di una superficie orientabile; in presenza di un piano proiettivo (# P), la superficie non è orientabile (non c’è nozione di lato), quindi non c’è differenza tra attaccare un toro e attaccare una bottiglia di Klein, il che spiega la relazione.
Superfici con boundaryEdit
Le superfici compatte, possibilmente con boundary, sono semplicemente superfici chiuse con un numero finito di fori (dischi aperti che sono stati rimossi). Pertanto, una superficie compatta connessa è classificata dal numero di componenti di confine e dal genere della corrispondente superficie chiusa – equivalentemente, dal numero di componenti di confine, dall’orientabilità e dalla caratteristica di Eulero. Il genere di una superficie compatta è definito come il genere della corrispondente superficie chiusa.
Questa classificazione segue quasi immediatamente dalla classificazione delle superfici chiuse: la rimozione di un disco aperto da una superficie chiusa produce una superficie compatta con un cerchio per il componente di contorno e la rimozione di k dischi aperti produce una superficie compatta con k cerchi disgiunti per i componenti di contorno. Le posizioni precise dei fori sono irrilevanti, perché il gruppo omeomorfismo agisce k-transitivamente su qualsiasi collettore collegato di dimensione almeno 2.
Viceversa, il confine di una superficie compatta è un 1-collettore chiuso, ed è quindi l’unione disgiunta di un numero finito di cerchi; riempiendo questi cerchi con dischi (formalmente, prendendo il cono) si ottiene una superficie chiusa.
L’unica superficie orientabile compatta del genere g e con componenti di confine k è spesso denotata Σ g, k, {\displaystyle \ Sigma _ {g, k},}
ad esempio nello studio del gruppo di classi di mappatura.
Riemann surfacesEdit
Una superficie di Riemann è un complesso 1-collettore. A livello puramente topologico, una superficie di Riemann è quindi anche una superficie orientabile nel senso di questo articolo. Infatti, ogni superficie orientabile compatta è realizzabile come una superficie di Riemann. Così le superfici compatte di Riemann sono caratterizzate topologicamente dal loro genere: 0, 1, 2,…. D’altra parte, il genere non caratterizza la struttura complessa. Ad esempio, ci sono innumerevoli superfici compatte non isomorfe di Riemann del genere 1 (le curve ellittiche).
Superfici non compattemodifica
Le superfici non compatte sono più difficili da classificare. Come semplice esempio, una superficie non compatta può essere ottenuta perforando (rimuovendo un insieme finito di punti da) un collettore chiuso. D’altra parte, qualsiasi sottoinsieme aperto di una superficie compatta è di per sé una superficie non compatta; si consideri, ad esempio, il complemento di un insieme di Cantori nella sfera, altrimenti noto come superficie dell’albero di Cantori. Tuttavia, non tutte le superfici non compatte sono un sottoinsieme di una superficie compatta; due controesempi canonici sono la scala di Giacobbe e il mostro di Loch Ness, che sono superfici non compatte con un genere infinito.
Una superficie non compatta M ha uno spazio non vuoto di estremità E(M), che descrive informalmente i modi in cui la superficie “si spegne all’infinito”. Lo spazio E(M) è sempre topologicamente equivalente a un sottospazio chiuso dell’insieme di Cantor. M può avere un numero finito o numerabilmente infinito Nh di maniglie, così come un numero finito o numerabilmente infinito Np di piani proiettivi. Se sia Nh che Np sono finiti, allora questi due numeri e il tipo topologico di spazio delle estremità classificano la superficie M fino all’equivalenza topologica. Se uno o entrambi di Nh e Np è infinito, allora il tipo topologico di M dipende non solo da questi due numeri ma anche da come l’infinito si avvicina allo spazio delle estremità. In generale il tipo topologico di M è determinato dai quattro sottospazi di E (M) che sono punti limite di infinite maniglie e infiniti piani proiettivi, punti limite di sole maniglie e punti limite di nessuno dei due.
Superfici che non sono nemmeno numerabili in secondomodifica
Se si rimuove l’ipotesi di seconda numerabilità dalla definizione di una superficie, esistono superfici topologiche (necessariamente non compatte) che non hanno una base numerabile per la loro topologia. Forse l’esempio più semplice è il prodotto cartesiano della linea lunga con lo spazio dei numeri reali.
Un’altra superficie che non ha una base numerabile per la sua topologia, ma che non richiede l’Assioma della Scelta per dimostrare la sua esistenza, è la varietà di Prüfer, che può essere descritta da semplici equazioni che mostrano che è una superficie analitica reale. Il collettore di Prüfer può essere pensato come il mezzo piano superiore insieme a una “lingua” Tx aggiuntiva che pende da esso direttamente sotto il punto (x,0), per ogni x reale.
Nel 1925, Tibor Radó dimostrò che tutte le superfici di Riemann (cioè i collettori complessi unidimensionali) sono necessariamente numerabili secondo (teorema di Radó). Al contrario, se si sostituiscono i numeri reali nella costruzione della superficie di Prüfer con i numeri complessi, si ottiene un collettore complesso bidimensionale (che è necessariamente un collettore reale a 4 dimensioni) senza base numerabile.
ProofEdit
La classificazione delle superfici chiuse è nota dal 1860 e oggi esistono numerose prove.
Le prove topologiche e combinatorie in generale si basano sul difficile risultato che ogni 2-manifold compatto è omeomorfo a un complesso simpliciale, che è di interesse a sé stante. La prova più comune della classificazione è (Seifert & Threlfall 1934) harv error: no target: CITEREFSeifertThrelfall1934 (help), che porta ogni superficie triangolata a una forma standard. Una prova semplificata, che evita una forma standard, è stata scoperta da John H. Conway circa 1992, che ha chiamato la “Prova di irrilevanza zero” o “prova ZIP” ed è presentata in (Francis & Weeks 1999).
Una prova geometrica, che produce un risultato geometrico più forte, è il teorema di uniformizzazione. Questo è stato originariamente dimostrato solo per le superfici Riemann nel 1880 e 1900 da Felix Klein, Paul Koebe, e Henri Poincaré.