orbite Circolari

Il comportamento dettagliato delle orbite reali è la preoccupazione della meccanica celeste (vedi l’articolo meccanica celeste). Questa sezione tratta solo l’orbita circolare idealizzata e uniforme di un pianeta come la Terra su un corpo centrale come il Sole. In effetti, l’orbita terrestre attorno al Sole non è esattamente uniformemente circolare, ma è un’approssimazione abbastanza vicina ai fini di questa discussione.

Un corpo in moto circolare uniforme subisce sempre un’accelerazione centripeta data dall’equazione (40). Secondo la seconda legge di Newton, è necessaria una forza per produrre questa accelerazione. Nel caso di un pianeta orbitante, la forza è la gravità. La situazione è illustrata nella Figura 9. L’attrazione gravitazionale del Sole è una forza interna (centripeta) che agisce sulla Terra. Questa forza produce l’accelerazione centripeta del moto orbitale.

Prima che queste idee siano espresse quantitativamente, è utile capire perché è necessaria una forza per mantenere un corpo in un’orbita a velocità costante. La ragione è che, ad ogni istante, la velocità del pianeta è tangente all’orbita. In assenza di gravità, il pianeta obbedirebbe alla legge di inerzia (la prima legge di Newton) e volerebbe via in linea retta nella direzione della velocità a velocità costante. La forza di gravità serve a superare la tendenza inerziale del pianeta, mantenendolo così in orbita.

La forza gravitazionale tra due corpi come il Sole e la Terra è data da

dove MS e MI sono masse del Sole e della Terra, rispettivamente, r è la distanza tra i loro centri, e G è una costante universale uguale a 6.674 × 10-11 Nm2/kg2 (Newton metri quadrati per chilogrammo al quadrato). La forza agisce lungo la direzione che collega i due corpi (cioè lungo il vettore del raggio del movimento circolare uniforme), e il segno meno indica che la forza è attraente, agendo per tirare la Terra verso il Sole.

Ad un osservatore sulla superficie della Terra, il pianeta sembra essere a riposo a (approssimativamente) una distanza costante dal Sole. Sembrerebbe all’osservatore, quindi, che qualsiasi forza (come la gravità del Sole) che agisce sulla Terra deve essere bilanciata da una forza uguale e opposta che mantiene la Terra in equilibrio. In altre parole, se la gravità sta cercando di tirare la Terra nel Sole, una forza opposta deve essere presente per evitare che ciò accada. In realtà, tale forza non esiste. La terra è in movimento liberamente accelerato causato da una forza sbilanciata. La forza apparente, nota in meccanica come pseudoforza, è dovuta al fatto che l’osservatore è effettivamente in movimento accelerato. Nel caso del moto orbitale, la pseudoforza esterna che equilibra la gravità è chiamata forza centrifuga.

Per un’orbita circolare uniforme, la gravità produce un’accelerazione verso l’interno data dall’equazione (40), a = – v2 / r. La pseudoforza f necessaria per bilanciare questa accelerazione è semplicemente uguale alla massa della Terra per un’accelerazione uguale e opposta, o f = MEv2 / r. L’osservatore terrestre ritiene quindi che non vi sia alcuna forza netta, che F + f = 0, dove F è la forza di gravità data dall’equazione (41). La combinazione di queste equazioni si ottiene un rapporto tra la velocità v di un pianeta e la sua distanza r dal Sole:

va notato che la velocità non dipende dalla massa del pianeta. Ciò si verifica esattamente per la stessa ragione per cui tutti i corpi cadono verso la Terra con la stessa accelerazione e che il periodo di un pendolo è indipendente dalla sua massa. Un pianeta orbitante è infatti un corpo che cade liberamente.

L’equazione (42) è un caso speciale (per le orbite circolari) della terza legge di Keplero, che è discussa nell’articolo meccanica celeste. Usando il fatto che v = 2nr / T, dove 2nr è la circonferenza dell’orbita e T è il momento di fare un’orbita completa (cioè, T è un anno nella vita del pianeta), è facile mostrare che T2 = (4π2/GMS)r3. Questa relazione può anche essere applicata ai satelliti in orbita circolare attorno alla Terra (nel qual caso, ME deve essere sostituito da MS) o in orbita attorno a qualsiasi altro corpo centrale.