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Esempio-Campo magnetico di un cavo coassiale
Ora calcoliamo i campi magnetici di un cavo coassiale in diverse regioni.
B campo di un cavo coassiale. Un cavo coassiale è costituito da due regioni cilindriche concentriche, un nucleo interno, un guscio cilindrico esterno, qualcosa del genere. Queste regioni cilindriche conduttrici sono separate da un mezzo isolante l’una dall’altra, e poiché uno di questi cilindri trasporta la corrente in una direzione, questa è chiamata la corrente che scorre nel nucleo interno come i sub a. Il guscio cilindrico esterno trasporta la corrente i sub b in direzione opposta.
Se diamo alcune dimensioni a questo cavo, diciamo che questo raggio è a, il raggio interno del guscio cilindrico esterno è b e il raggio esterno dell’altro guscio cilindrico è c.
Pertanto, la corrente scorre attraverso questi cilindri in direzioni opposte e vorremmo determinare il campo magnetico di tale cavo in diverse regioni. Iniziamo con la regione in modo tale che il nostro punto di interesse, la distanza dal centro, sia inferiore al raggio a. In altre parole, all’interno del cilindro interno.
E guardiamo questo caso dalla vista dall’alto e quindi qui abbiamo, diciamo, il cilindro interno dal punto di vista della sezione trasversale, e il guscio cilindrico esterno, qualcosa del genere, e il cilindro interno sta portando la corrente i sub a fuori dal piano, e il cilindro esterno sta portando la corrente i sub b nel piano, ovunque in queste regioni.
Ancora una volta, il raggio del cilindro interno è a, e questo raggio è b e il raggio della regione esterna è c. Bene, abbiamo fatto un esempio molto simile in precedenza. La nostra prima regione di interesse è che il nostro punto di punto a è all’interno del cilindro interno. Diciamo da qualche parte qui intorno, e per trovare il campo magnetico in questa posizione, che è a poca distanza r dal centro, posizioniamo un ciclo empirico sotto forma di un cerchio che coincide con la linea del campo magnetico che passa attraverso quel punto, e chiamiamo questo ciclo come c1 per la prima regione.
E la legge empire/s dice che B di dl integrato su questo ciclo, c1, sarà uguale a neu 0 volte la corrente netta che passa attraverso la regione, o la superficie, circondata da questo ciclo c1.
Come abbiamo fatto negli esempi precedenti, ad un ciclo in grado di soddisfare le condizioni per l’applicazione dell’impero legge, e il campo magnetico sarà tangente alla linea di campo, e il campo in linea coincide con il ciclo che stiamo scegliendo e dl è incrementale spostamento elemento lungo questo ciclo, quindi l’angolo tra b e dl sarà sempre 0 gradi, in questo caso.
Quindi, il lato sinistro ci darà magnitudine b, magnitudine dl volte cosin di 0, integrato sul ciclo c1, sarà uguale a neu 0 volte i racchiuso.
Cosin di 0 è 1 e b è costante su questo ciclo perché il ciclo coincide con la linea del campo magnetico che passa attraverso quel punto, e finché siamo su quella linea di campo vedremo la stessa magnitudine del campo magnetico. Pertanto, poiché la grandezza è costante, possiamo portarla al di fuori dell’integrale, quindi, il lato sinistro finiamo con b per integrale di dl sul ciclo c1 è uguale a neu 0 per i racchiuso.
Integrale di c1, integrale di dl, sopra il ciclo c1 ci darà la lunghezza di quel ciclo, che è la circonferenza di quel cerchio, e che sarà uguale a 2pi per il raggio di quel cerchio, che è piccolo r per b sarà uguale a neu 0 per i racchiuso.
I racchiuso è la corrente netta che passa attraverso la regione circondata da questo ciclo c, in modo che sia la superficie. Il ciclo c circonda questa verde regione ombreggiata, e sappiamo che attraverso tutta la superficie interna, la corrente che scorre è che ho un sub, che sostanzialmente copre l’intera regione e per ottenere il netto corrente che scorre attraverso questa verde regione ombreggiata possiamo definire la densità di corrente, che è corrente per unità di area della sezione trasversale, e se si moltiplica la densità di corrente dalla zona circondata dal ciclo c, si ottiene la quantità di corrente che passa attraverso la superficie.
Quindi, se andiamo avanti, avremo b per 2pir, questo è il lato sinistro, che è uguale a neu0 per i chiuso, dove in questo caso i chiuso sarà uguale a J per l’area di quella regione, che è pir al quadrato, e qui la densità di corrente è la corrente totale che ho diviso per l’area totale della sezione trasversale di questo filo, e che è pi per un quadrato.
Così, b volte 2pir sta per essere neu0 volte, dove ho racchiuso avremo ho più di pia piazza, e questa è la densità di corrente per la corrente che fluisce attraverso il cilindro interno, e devo utilizzare il pedice un qui perché abbiamo definito la quantità di corrente che fluisce attraverso il cilindro interno, come ho un sub. Ho un sub più di pia piazza ci darà la densità di corrente, e se moltiplichiamo questa corrente per unità di superficie per l’area della regione che ci interessa, che è pir quadrato, poi si finisce con la corrente totale che passa attraverso la superficie.
Ecco, questo pi e pi si annulla, e siamo in grado di annullare uno di questi r piazze con la r sul lato sinistro, lasciando b da soli, si finirà con il campo magnetico all’interno del cilindro interno come neu0 i sub diviso da 2pia quadrato volte r.
E, naturalmente, questo è identico risultato con l’esempio che abbiamo fatto in precedenza per ottenere il campo magnetico profilo di un trasporto di corrente filo di forma cilindrica.
Ora, come seconda regione consideriamo il campo magnetico per la regione che il nostro punto di interesse è tra i due cilindri. In altre parole, r è minore di b e maggiore di una regione.
Se guardiamo a quella regione stiamo parlando di questa parte, e in questa parte diciamo che il nostro punto di interesse si trova ora da qualche parte qui. Ancora una volta, scegliamo un ciclo chiuso. In questo caso, chiamiamo questo come c2, che coincide con la linea del campo magnetico che passa attraverso il punto di interesse p. Ora si trova in questa regione.
E per quella regione, questa è la nostra regione del guscio cilindrico esterno che trasporta la corrente i sub b nel piano. Ora, per questa regione, di nuovo, quando scegliamo questo ciclo che coincide con la linea di campo che passa attraverso quel punto soddisferà le condizioni per applicare la legge di ampere, e quindi, il lato sinistro della legge di ampere sarà identico alla parte precedente, e ci darà la nota b dl integrata su ora loop c2, che è uguale a neu0 i incluso. Il lato sinistro ci darà, di nuovo, b per 2pir. Naturalmente, ora, la distanza, piccola r, è la distanza dal centro a questo punto per questa regione.
E la destra, per questo caso, ora stiamo andando a guardare a rete corrente che passa attraverso la regione, circondato da loop c2, in altre parole, l’area è circondata da loop c2, ed è per questa area di colore giallo, e quando vediamo che la superficie vediamo che tutta la corrente che fluisce attraverso il cilindro interno è passando attraverso questa superficie, e, naturalmente, nulla al di fuori di questa superficie è di interesse, e quindi, in questo caso, ho chiuso sta per essere uguale, semplicemente, la corrente che fluisce attraverso il cilindro interno, che ho un sub. Pertanto, sul lato destro, avremo neu0 per i sub a, e risolvendo per il campo magnetico avremo neu0 i sub a su 2pir per questa regione.
Quindi, questo è il caso, che r è tra b e a e per la parte precedente abbiamo calcolato il campo magnetico per la regione in modo tale che r è inferiore a.
Ora andiamo avanti e calcoliamo il campo magnetico all’interno dell’altro guscio cilindrico. Quindi, in questo caso, stiamo parlando di b nella regione in cui r è tra c e b.
In altre parole, ora siamo interessati alla regione interna di questo altro guscio cilindrico. Supponiamo che in questo caso il nostro punto di interesse sia da qualche parte qui.
Ora di nuovo scegliamo il nostro ciclo empirico in modo tale che coincida con la linea di campo che passa attraverso quel punto, quindi, sarà, di nuovo, sotto forma di un cerchio, e il suo raggio, r, ora è misurato dal centro, indicando questo .
Ora chiamiamo questo ciclo come c3. Ancora una volta, i calcoli sul lato sinistro saranno simili alle parti precedenti. Questo ciclo soddisferà le condizioni per applicare la legge di Ampere. La grandezza del campo magnetico sarà costante ovunque lungo questo ciclo e l’angolo tra b e dl sarà 0.
Quindi, la legge di Ampere, che è b dot dl, integrata sul loop c3 uguale a neu0 i racchiuso, alla fine ci darà, per il lato sinistro, come sopra, ci darà d volte dpir, e sul lato destro avremo neu0 volte i racchiuso.
Ora qui stiamo parlando della corrente netta che passa attraverso l’area circondata dal loop c3. Se guardiamo a quella zona, vedremo che, prima di tutto, stiamo parlando di questa zona, ora, qui, in questa area blu, in quella regione, vediamo che tutta la parte interna del cilindro, o la corrente che fluisce attraverso il cilindro interno troverete a passare in quella zona, e per le altre coperture cilindriche vediamo che questo è la sezione del cilindro contribuirà per il campo magnetico, perché la corrente che scorre attraverso la regione, che è la nostra parte di questa superficie è di interesse.
Pertanto, poiché i sub a sta fluendo fuori dal piano e i sub b sta fluendo nel piano, la corrente netta sarà fondamentalmente la differenza tra queste due correnti. Così siamo in grado di esprimere i racchiuso come i sub a, scegliamo questa direzione, il nostro aereo in direzione positiva, e che si muove fuori del piano, il che è positivo, e l’altro è la frazione della corrente che si muove dentro l’aereo e per esprimere quella di cui abbiamo bisogno per esprimere la densità di corrente associata con il guscio esterno, che è la corrente totale che fluisce attraverso una shell, e che ho sub b, diviso per il numero totale area della sezione trasversale del conduttore, stiamo parlando del guscio esterno, e il totale area della sezione trasversale che esterno cilindrico shell è l’area di questo grande cilindro meno l’area di questo piccolo cilindro.
Quindi, in altre parole, sarà uguale a pic quadrato meno pib quadrato, e quella parte, questa espressione, sarà uguale alla densità di corrente del cilindro esterno.
E questa densità per l’area di interesse ci darà la corrente netta che scorre attraverso quell’area. Quindi, in altre parole, se prendiamo il prodotto della densità di corrente con questa regione blu ombreggiata, l’area della regione ombreggiata dovrei dire, allora otterremo la corrente netta che scorre attraverso quella superficie, e questo è fondamentalmente pir al quadrato meno pib al quadrato.
Va bene. Possiamo semplificare questa espressione scrivendola come i racchiuso è uguale a i sub a meno i sub b su pi parentesi c al quadrato meno b al quadrato per pi per r al quadrato meno b al quadrato.
Qui il pis si annullerà, e quindi io racchiuso sarà uguale a questa quantità. Quindi b per 2pir sarà uguale a neu0 per i racchiuso e cioè i sub a meno r quadrato meno b quadrato, i sub b diviso per c quadrato meno b quadrato.
Per ottenere il campo magnetico lasciamo quella quantità da sola sul lato sinistro dell’equazione, quindi, b sarà uguale a neu0 su 2pir per i sub a meno i sub b per r quadrato meno b quadrato, diviso per c quadrato meno b quadrato uguale parentesi.
Quindi all’interno del guscio cilindrico esterno, la grandezza del campo magnetico sarà uguale a questa quantità. Naturalmente, la direzione, la direzione netta del campo magnetico, se questo è in senso orario o antiorario, dipende dalla grandezza di queste correnti, e questo è per la regione che r è tra c e b.
L’ultima regione è la regione esterna di questo cavo coassiale. Quindi torniamo al nostro diagramma, quindi stiamo parlando del fatto che il nostro punto di interesse si trova da qualche parte qui, e di nuovo, scegliendo un ciclo empirico, che sta passando per il punto di interesse e coincide con la linea di campo che passa per quel punto, punto p, e che è r distanza dal centro.
Il lato sinistro della legge di Ampere, chiamiamo questo ciclo c4, la legge di Ampere per questo caso sarà la nota b dl integrate ciclo c4, che sarà chiamato neu0 volte ho chiuso, e il lato sinistro, di nuovo, sarà simile alle precedenti parti, che ci darà b volte 2pir, e che sarà pari, per il allegai ora diamo un’occhiata al nostro schema, stiamo parlando di netta corrente che passa attraverso l’area circondata da ora, tutta questa regione, ed è circondata da ciclo c4, che stiamo parlando di questo in tutta la regione, e si può facilmente vedere che l’intero la corrente che passa attraverso il cavo coassiale sta passando attraverso questo punto, passando attraverso questa superficie, e cioè i sub a sta uscendo dal piano e i sub b sta entrando nel piano.
Come risultato di questo, la rete di corrente che passa attraverso l’area circondata da empirica ciclo c4 sarà uguale a i sub meno i sub b, dato che non sono che scorre in direzioni opposte, quindi, sul lato destro abbiamo neu0 volte i sub meno i sub b, e risolvere per il campo magnetico si sta andando a finire con l’espressione finale di neu0 2pir volte i sub meno i sub.b.
E questo è il campo magnetico generato al di fuori di questo cavo coassiale. Questo è per la regione che r è maggiore di c.
Ok. Beh, se i sub a è uguale a i sub b, se queste due correnti, che sono uguali in magnitudine dal momento che fluiscono in direzioni opposte, allora ho chiuso sarà uguale a 0. Ciò significa che il campo magnetico al di fuori del cavo coassiale sarà 0 per r maggiore di c regione.