“Nessuno ci porterà dal paradiso che Cantor ha creato per noi” — David Hilbert
Quale modo migliore per trascorrere in isolamento che pensare l’infinito? Dimostriamo forse la dimostrazione più semplice ed elegante in matematica: il Teorema di Cantor.
Ho detto semplice ed elegante, non facile però!
Parte I: Affermando il problema
Il teorema di Cantor risponde alla domanda se gli elementi di un insieme possono essere messi in una corrispondenza uno-a-uno (“accoppiamento”) con i suoi sottoinsiemi. (Tecnicamente parlando, una ‘bijection’). Questo tipo di problema ha a che fare con un concetto matematico chiamato “cardinalità”. Siamo in grado di visualizzare una corrispondenza one-to-one come una sorta di set-teorica matematica incontri: vogliamo che ogni elemento del set per trovare la sua corrispondenza romantica in un altro set, ma vuole evitare la poligamia, e vogliamo evitare oggetti matematici essere single.
Ad esempio, l’insieme {1,2,3} ha 3 elementi: 1, 2, 3.
Ha 8 sottoinsiemi: {1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3}, {1,3}, {}, {1,2,3}
dove {} è noto come “set vuoto”. Puoi ignorarlo felicemente per ora se ti mette a disagio: non sarà importante. In alternativa, visualizzare quanto sopra come tre palle numerate 1,2,3 e i sottoinsiemi come i diversi modi in cui si possono mettere le palle in un piccolo sacco. Una cosa che puoi fare è non mettere nulla nel sacco: il set vuoto.
Finora ,così * facile*. Dopotutto, per gli insiemi finiti questo risulta essere abbastanza ovvio. Se un set ha N elementi, l’insieme di sottoinsiemi ha 2 * * n elementi. In quanto sopra l’insieme {1,2,3} ha 3 elementi e l’insieme dei sottoinsiemi (è un boccone e confuso da leggere, ma guarda l’esempio per non confonderti!) ha 8 elementi. 8 = 2*2*2 = 2**3 come ho promesso.
* * * L’istruzione ‘l’insieme dei sottoinsiemi’ può essere un po ‘ scoraggiante. Per sentirti un po ‘ più a tuo agio, prima assicurati che un sottoinsieme sia un oggetto matematico sensibile. Se ho alcuni oggetti matematici, posso raggruppare alcuni di loro insieme e lasciare gli altri fuori. È possibile visualizzare il set originale come tutti i tuoi giocatori di calcio, e l’insieme di sottoinsiemi come tutte le squadre potenziali si può fare da quei giocatori, di qualsiasi dimensione. Quando arriviamo a un numero ‘infinito’ di giocatori, le cose possono diventare un po ‘ più difficili da concettualizzare, ma l’idea di base è la stessa.***
Ma Cantor aveva messo gli occhi più grandi. Che dire degli insiemi con un numero infinito di elementi? Possiamo confrontare la dimensione di due set con un numero infinito di elementi? (Spoiler: sì.)
Passo II: La prova
Cantor suppone che hai trovato un accoppiamento che funziona.
Cioè, hai una funzione, che hai inserito in un elemento di un set, e l’output è un sottoinsieme. Non solo, ma per ogni sottoinsieme puoi puntare a un elemento che viene “mappato” o “inviato” dalla funzione in quel sottoinsieme. Inoltre, non vengono inviati due elementi allo stesso sottoinsieme.
Nell’esempio sopra, qualcuno potrebbe proporre la funzione che invia 1 al set {1}, 2 al set {2,3} e 3 al set {1,2}. Ma nulla viene inviato a {1,2,3} quindi chiaramente questo non funziona.
Per generalizzare questo, Cantor ci chiede di considerare “l’insieme di elementi che non sono contenuti nel sottoinsieme a cui sono mappati”. Ad esempio, nel precedente 3 viene inviato a {1,2} ma 3 non è in {1,2} quindi si adatta bene al criterio.
Nella nostra funzione di datazione matematica-teorica, anche questo set ha bisogno di un partner. Ma chi può essere il partner di questo set? Se un elemento viene inviato a questo set, se è contenuto in quel set, non può esserlo. (cioè una contraddizione). Perché? Perché è quindi contenuto nel sottoinsieme di elementi a cui è stato mappato! Che dire se non è in quel set? Quindi anche questa è una contraddizione, come se non fosse nell’insieme, per la definizione dell’insieme, deve essere nell’insieme perché non è contenuto nel sottoinsieme a cui è mappato.
E così la magia nera di Cantor è fatta. Assumendo la nostra matematica magica incontri funzione ha funzionato, abbiamo trovato un esempio in cui non poteva funzionare.