Se #S# è un insieme di oggetti con un’operazione binaria #@# (ad esempio addizione o moltiplicazione), allora si dice che sia chiuso sotto #@# se e solo se #a@b in S# per tutti #a, b in S#.
Cioè, dato qualsiasi due elementi #a# e #b# di #S#, l’espressione #a@b# ti dà un altro elemento di #S#.
Quindi, ad esempio, l’insieme di numeri interi pari #{ 0, 2, -2, 4, -4, 6, -6,… }# è chiuso sia in addizione che in moltiplicazione, poiché se aggiungi o moltiplichi due numeri interi pari otterrai un numero intero pari.
Per contrasto, l’insieme di numeri interi dispari è chiuso sotto moltiplicazione ma non chiuso sotto addizione.
Questo diventa molto più interessante una volta che richiediamo anche la chiusura sotto identità e inversa.
Ad esempio, i numeri razionali # QQ # hanno le proprietà:
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Chiuso sotto addizione # + # e moltiplicazione #*#
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Contiene un’identità # 0 # per l’addizione e #1 # per la moltiplicazione.
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Contiene inversi additivi per qualsiasi elemento.
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Contiene inversi moltiplicativi per qualsiasi elemento diverso da zero.
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Varie altre proprietà che si riducono all’addizione e alla moltiplicazione che funzionano normalmente (commutatività, associatività, distributività, ecc.).
Si dice che i numeri razionali formino un campo.
Cosa succede quando aggiungiamo #sqrt (2)# all’insieme di numeri razionali?
Smette di essere chiuso sotto addizione o moltiplicazione. Biru:
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Se aggiungi un numero razionale a # sqrt (2)#, ottieni un altro numero irrazionale.
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Se si moltiplica un numero irrazionale(a parte #0# o #1#) per #sqrt (2)#, si ottiene un altro numero irrrazionale.
Per farlo chiudere di nuovo, dobbiamo includere tutti i numeri del modulo:
#a + bsqrt(2)#
dove # a, b in QQ #
Quindi troviamo:
#(un+bsqrt(2)) + (c+dsqrt(2)) = (a+c)+(b+d)sqrt(2)#
#(un+bsqrt(2)) * (c+dsqrt(2)) = (ac+bd) + (ad+bc)sqrt(2)#
#(un+bsqrt(2))+((-a)+(-b)sqrt(2)) = 0#
#(un+bsqrt(2)) * ((a/(a^2-2b^2)) – (b/(a^2-2b^2))sqrt(2)) = 1#
Il difficile è l’ultimo, che in sostanza ci dice che i numeri della forma #a+bsqrt(2)# sono chiusi sotto inverso moltiplicativo. Si potrebbe dire che i numeri diversi da zero del modulo # a + bsqrt (2)# sono chiusi sotto divisione.