Che cosa è un simbolo Christoffel?

Ecco il modo migliore per pensare ai simboli Christoffel, almeno per un principiante.

Supponiamo di voler sapere se/come un vettore cambia da un punto all’altro nel collettore sottostante, ad esempio lo spaziotempo. In altre parole, vuoi differenziare il tuo campo vettoriale. Ci sono due motivi per cui potresti registrare una modifica nel campo vettoriale nei tuoi calcoli:

1. Il vettore stesso potrebbe effettivamente essere diverso in un punto rispetto all’altro O
2. Il vettore potrebbe essere descritto utilizzando diversi vettori di base nei due punti. (Quando cambi una base, i componenti delle cose che stai descrivendo cambieranno.)

Qualsiasi modifica rilevata nel valore del vettore da un punto all’altro potrebbe provenire da una o entrambe queste fonti.

Il punto importante è che quando si valuta se un vettore (campo) è cambiato mentre si passa da un punto all’altro nello spaziotempo, è necessario qualcosa nella matematica per tenere conto del fatto che la base (cioè il sistema di coordinate) è cambiato lungo il percorso, oltre a qualsiasi cambiamento che potrebbe essersi verificato al vettore stesso.

La derivata parziale ordinaria non lo fa. Presuppone solo che la base non cambi. Nel caso più generale, tuttavia, i vettori di base cambieranno. Per tenere conto di ciò, sostituiamo la derivata parziale ordinaria con quella che viene chiamata derivata covariante. La parte della derivata covariante che tiene traccia dei cambiamenti derivanti dal cambiamento di base è i simboli di Christoffel. Codificano quanto cambiano i vettori di base mentre ci muoviamo lungo la direzione dei vettori di base stessi.

Come è utile nella Relatività Generale? È perché GR modella la gravità come la curvatura della varietà spaziotempo e le informazioni su questa curvatura sono codificate nei simboli di Christoffel.

Ma se i simboli di Christoffel sono dipendenti dalla base (e abbiamo appena detto che lo sono-diversi sistemi di coordinate/vettori di base ti daranno valori diversi per i simboli di Christoffel), come possono dare informazioni sulla curvatura del collettore sottostante, che dovrebbe essere indipendente dal sistema di coordinate?

I simboli di Christoffel non danno direttamente la curvatura. Da quello che abbiamo detto finora, è chiaro che perché i simboli di Christoffel siano zero in modo identico, i vettori di base non devono cambiare mentre andiamo da un punto all’altro. Ciò significa che non introdurremo modifiche spurie ai nostri campi vettoriali non tenendo conto del cambiamento di base.

Due cose importanti da riconoscere:

1. Simboli di Christoffel diversi da zero non significano che il collettore ha curvatura. Tutto ciò significa che stai usando un campo vettoriale di base che cambia lunghezza e / o direzione da punto a punto. Un esempio comune sono le coordinate polari sul piano. Questi vettori di base cambiano da punto a punto, ad esempio il vettore di base nella direzione theta diventa più lungo più lontano si ottiene dall’origine nella direzione radiale. Ciò significa che avrai almeno alcuni simboli Christoffel diversi da zero. Ma chiaramente lo spazio non è curvo.

   1. La scomparsa dei simboli di Christoffel non significa che lo spazio non abbia curvatura. Potrebbe significare che stai viaggiando lungo una traiettoria nota come geodetica. (Questa è la generalizzazione delle linee rette attraverso lo spazio piatto ordinario che è ” la distanza più breve tra due punti.’) La controparte fisica di questo è caduta libera.

Dal momento che i simboli di Christoffel ci permettono di definire una derivata covariante (cioè una derivata che tiene conto di come cambiano i vettori di base), ci permette di definire il “trasporto parallelo” di un vettore. Cioè il simbolo di Christoffel ci dice cosa significa dire che un vettore è spostato da un punto all’altro in modo che rimanga “parallelo a se stesso”. ‘Parallelo a se stesso’ significa solo ‘la derivata covariante svanisce’.

La definizione di curvatura (almeno una di esse) dipende da questo processo di trasporto parallelo, reso possibile dalla derivata covariante, a sua volta resa possibile dai simboli di Christoffel.

L’idea di base è che se trasportiamo in parallelo un vettore su un ciclo (cioè torniamo al nostro punto di partenza), non necessariamente finiamo con lo stesso vettore con cui abbiamo iniziato. Questo è vero anche se abbiamo trasportato il vettore in modo “auto-parallelo”. Il fatto cruciale per la curvatura non è solo che finiamo con un vettore diverso da quello con cui abbiamo iniziato (che può accadere nel caso di curvatura zero) ma che esattamente quale vettore finiamo dipende dal percorso che abbiamo preso. Quindi se trasporti un vettore ‘parallelo a se stesso’ lungo i percorsi a e b, finisci con due vettori diversi ‘paralleli’ a quello con cui hai iniziato. Se ciò accade, allora per definizione il tuo spazio è curvo.

In sintesi, la differenza tra uno spazio piatto e uno spazio curvo può essere messa in questo modo: in uno spazio piatto, è possibile costruire un sistema di coordinate in cui i simboli di Christoffel svaniscono ovunque, cioè dove i vettori di base sono gli stessi in ogni punto. In uno spazio curvo, questo è impossibile. Non puoi far sparire tutti i simboli di Christoffel in uno spazio curvo, semplicemente perché se potessi, non sarebbe curvo. Sarebbe piatta!

Che cosa ha a che fare tutto questo con la fisica? Bene, puoi pensare alla gravità come derivante dalla curvatura dello spaziotempo, usando analogie di fogli di gomma, ecc. Ma trovo più utile pensare alla gravità come semplicemente derivante da questa necessità di correggere il modo in cui lo spaziotempo sottostante ci costringe a utilizzare diversi vettori di base in punti diversi. Nella teoria della relatività, la controparte fisica del “cambiamento di base” è il cambiamento di stato del moto. Proprio come i termini derivanti esclusivamente da cambiamenti di base non riflettono fatti reali sui vettori – solo artefatti di come scegliamo di descrivere i vettori – i termini derivanti da cambiamenti nello stato di movimento non riflettono fatti fisici reali.

Questo è il cuore dell’estensione di Einstein dell’idea rivoluzionaria della relatività di Galileo – che le leggi della fisica sono ciò che sono, indipendentemente dal tuo stato di movimento. Tutto ciò che dipende dal tuo stato di movimento non è un fatto ma un artefatto e dovrebbe essere respinto come tale. Ciò ha portato Einstein (e altri) all’idea che le vere leggi dell’universo dovrebbero essere quelle che valgono indipendentemente dal sistema di coordinate/stato del movimento. I simboli di Christoffel possono essere visti come termini nelle equazioni che lo rendono così valido per tutti gli stati di movimento.

Quindi, in un certo senso, possiamo dire che l’esistenza della gravità deriva da e implica che le leggi della fisica sono le stesse indipendentemente da come ti stai muovendo, nel senso che se la gravità non funzionasse nel modo in cui funziona, allora diversi osservatori formulerebbero leggi diverse a seconda delle loro prospettive parrocchiali (e viceversa).