Notazione: In un mondo ideale, userei α, β, γ rispettivamente per i coefficienti di espansione lineare, area e volume. Purtroppo abbiamo bisogno di γ per il rapporto tra le capacità termiche. Molte persone usano β per l’espansione del volume, quindi lo seguirò. Che cosa, quindi, usare per l’espansione dell’area? Userò b, quindi ora abbiamo α, b, β, che è molto goffo. Tuttavia, raramente avremo bisogno di b, quindi forse possiamo sopravvivere.
Coefficiente di espansione lineare: α
Coefficiente di espansione dell’area: b
Coefficiente di espansione del volume: β
Per piccoli intervalli di temperatura, aumenta in lunghezza, area e volume con la temperatura può essere rappresentato da
\ \]
\ \]
e
\ \]
Per anisotropico cristalli, il coefficiente può essere diverso in diverse direzioni, ma per i materiali isotropi, possiamo scrivere
\^{2}=A_{1}\left \]
\^{3}=V_{1}\left\]
Così per le piccole espansioni, \( \hat{b} \approx 2 \tilde{\alpha}\) e \( \widehat{\beta} \approx 3 \hat{\alpha}\).
Equazioni 13.1.1, 2 e 3 definiscono i coefficienti approssimativi su un intervallo di temperature finito. I coefficienti ad una particolare temperatura sono definiti in termini di derivati, cioè
\
\
\
Le relazioni b = 2α e β = 3α sono esatte.
Specifichiamo “a pressione costante” perché ovviamente non vogliamo, nella nostra definizione, impedire che il materiale si espanda aumentando la pressione su di esso quando lo riscaldiamo.
Per i solidi, il coefficiente di espansione lineare è solitamente il parametro appropriato; per liquidi e gas il coefficiente di volume è generalmente appropriato. Per i metalli comuni più familiari il coefficiente di espansione lineare è di ordine 10-5 K−1. Leghe come la lega di nichel-acciaio, “invar”, utilizzata nella costruzione dell’orologio, possono avere coefficienti molto più piccoli. Il vetro ordinario ha un coefficiente solo leggermente inferiore a quello dei metalli; il pyrex e il quarzo fuso hanno un’espansione molto più piccola – da qui il loro uso negli specchi del telescopio. Per liquidi e gas è solitamente il coefficiente di volume che viene citato. Il coefficiente di volume del mercurio è di circa 0,00018 K−1. L’acqua in realtà si contrae tra 0 e 4 oC e si espande al di sopra di quella temperatura. Il coefficiente di volume dell’aria a 0 oC è 0,0037 K−1.
A temperature ambiente e superiori, il coefficiente di espansione lineare dei metalli non varia molto con la temperatura, ma a basse temperature il coefficiente di espansione varia molto più rapidamente con la temperatura – e così fa la capacità termica specifica (vedi Sezione 8.10). Infatti, per un dato metallo, la variazione del coefficiente di dilatazione e la capacità termica specifica variano con la temperatura in modo piuttosto simile, in modo che, per un dato metallo, il rapporto α/CP è costante su un ampio intervallo di temperature.
Esercizio: Una piastra metallica quadrata ha un foro circolare di area 300 cm2 nel mezzo di esso. Se il coefficiente di espansione lineare è 2 × 10-5 Cº−1, calcolare l’area del foro quando la temperatura della piastra viene sollevata di 100 gradi.
Esercizio: Mostra che il coefficiente di espansione del volume di un gas ideale è 1 / T. Confronta questo con il valore numerico per l’aria sopra indicato.
Sebbene la termodinamica classica non si occupi di processi microscopici dettagliati, è interessante chiedersi perché un materiale solido si espande al riscaldamento. Immaginiamo che un solido cristallino sia costituito da atomi collegati tra loro da piccole molle, e ogni molla è governata dalla Legge di Hooke, e di conseguenza ogni atomo vibra in un pozzo potenziale parabolico e si muove in un semplice movimento armonico. Se aumentiamo la temperatura, aumentiamo l’ampiezza delle vibrazioni, ma non cambiamo le posizioni medie degli atomi. Di conseguenza, in un tale modello, non ci aspetteremmo alcuna espansione al riscaldamento. Tuttavia, il potenziale reale non è parabolico, ma è modellato, almeno qualitativamente, qualcosa come i potenziali di Lennard-Jones o Morse menzionati nel Capitolo 6, Sezione 6.8. Se il materiale viene riscaldato, l’ampiezza delle vibrazioni aumenta e, a causa dei termini di ordine superiore nel potenziale, che danno al potenziale la sua forma anarmonica asimmetrica, la separazione media degli atomi aumenta davvero, e quindi abbiamo un’espansione. Quindi l’espansione al riscaldamento di un materiale solido è una conseguenza dell’anarmonicità delle vibrazioni atomiche e dell’asimmetria del potenziale in cui si muovono.
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\
Sommario
In generale, se la lunghezza al T1 l1, la lunghezza l2 T2 sarà dato da
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nel caso In cui dl/dT è costante, in modo che \(\alpha=\frac{\alpha_{0}}{1+\alpha_{0} T}\), questo diventa
\
nel caso In cui α è costante, in modo che diventa
\
Così per il primo ordine di piccola quantità, tutte le varietà di α sono uguali.
Coefficiente di espansione come quantità tensore. Nel capitolo 4, ho brevemente menzionato che, nel caso di un cristallo anistropico, il coefficiente di conduzione termica è una quantità di tensore. Lo stesso vale, per un cristallo anisotropico, del coefficiente di espansione. Quindi, se, durante un esame di fisica, ti è stato chiesto di fornire esempi di quantità di tensori, potresti dare questi come esempi-anche se un piccolo rischio potrebbe essere coinvolto se il tuo insegnante non avesse pensato a questi come tensori! Il coefficiente di espansione di un cristallo anisotropico può variare in direzioni diverse. (In Islanda Spar-carbonato di calcio – in una direzione il coefficiente è effettivamente negativo.) Se si taglia un cristallo anisotropico sotto forma di un cubo, i cui bordi non sono paralleli all’asse cristallografico, il campione, al riscaldamento, non solo si espanderà in volume, ma cambierà forma per diventare un parallelepipedo non rettangolare. Tuttavia, è possibile tagliare il cristallo sotto forma di un cubo in modo tale che, al riscaldamento, il campione si espande in un parallelepipedo rettangolare. I bordi del cubo (e il parallelepipedo risultante) sono quindi paralleli agli assi principali di espansione e i coefficienti in queste direzioni sono i coefficienti principali di espansione. Queste direzioni saranno parallele agli assi cristallografici se il cristallo ha uno di più assi di simmetria (ma ovviamente non altrimenti)