en sluten yta är en yta som är kompakt och utan gräns. Exempel är utrymmen som sfären, torus och Klein-flaskan. Exempel på icke-slutna ytor är: en öppen skiva, som är en sfär med en punktering; en cylinder, som är en sfär med två punkteringar; och M-remsan. Som med alla slutna grenrör är en yta inbäddad i euklidiskt utrymme som är stängd med avseende på den ärvda euklidiska topologin inte nödvändigtvis en sluten yta; till exempel en skiva inbäddad i R 3 {\displaystyle \ mathbb {R} ^{3}}
som innehåller dess gräns är en yta som är topologiskt stängd, men inte en sluten yta.
klassificering av slutna ytorredigera
klassificeringssatsen för slutna ytor säger att alla anslutna slutna ytor är homeomorfa för någon medlem i en av dessa tre familjer:
- sfären,
- den anslutna summan av G tori för G 1,
- den anslutna summan av k verkliga projektiva plan för K 1.
ytorna i de två första familjerna är orienterbara. Det är bekvämt att kombinera de två familjerna genom att betrakta sfären som den anslutna summan av 0 tori. Antalet g av tori som är involverat kallas Ytans släkt. Sfären och torusen har Euler-egenskaper 2 respektive 0, och i allmänhet är Euler-egenskapen för den anslutna summan av G tori 2 − 2G.
ytorna i den tredje familjen är icke orienterbara. Euler-egenskapen för det verkliga projektiva planet är 1, och i allmänhet är Euler − egenskapen för den anslutna summan av k av dem 2-k.
det följer att en sluten yta bestäms, upp till homeomorfism, av två bitar av information: dess Euler-egenskap, och om den är orienterbar eller inte. Med andra ord klassificerar Euler-karaktäristiken och orienterbarheten helt slutna ytor upp till homeomorfism.
slutna ytor med flera anslutna komponenter klassificeras efter klassen för var och en av deras anslutna komponenter, och därför antar man i allmänhet att ytan är ansluten.
Monoid structureEdit
när det gäller denna klassificering till anslutna summor bildar de slutna ytorna upp till homeomorfism en kommutativ monoid under drift av ansluten summa, liksom grenrör av någon fast dimension. Identiteten är sfären, medan det verkliga projektiva planet och torusen genererar denna monoid, med en enda relation P # P # P = P # T, som också kan skrivas P # K = P # T, eftersom K = P # P. Denna relation kallas ibland Dycks sats efter Walther von Dyck, som bevisade det i (Dyck 1888), och trippelkorsytan P # P # P kallas följaktligen Dycks yta.
geometriskt, connect-sum med en torus (#T) lägger till ett handtag med båda ändarna fästa på samma sida av ytan, medan connect-sum med en Klein-flaska (#K) lägger till ett handtag med de två ändarna fästa på motsatta sidor av en orienterbar yta; i närvaro av ett projektivt plan (# P) är ytan inte orienterbar (det finns ingen uppfattning om sida), så det finns ingen skillnad mellan att fästa en torus och fästa en Klein-flaska, vilket förklarar förhållandet.
ytor med boundaryEdit
kompakta ytor, eventuellt med boundary, är helt enkelt stängda ytor med ett begränsat antal hål (öppna skivor som har tagits bort). Således klassificeras en ansluten kompakt yta med antalet gränskomponenter och släktet för motsvarande slutna yta – ekvivalent, med antalet gränskomponenter, orienterbarheten och Euler-karakteristiken. Släktet på en kompakt yta definieras som släktet på motsvarande slutna yta.
denna klassificering följer nästan omedelbart från klassificeringen av slutna ytor: att ta bort en öppen skiva från en sluten yta ger en kompakt yta med en cirkel för gränskomponent, och att ta bort k öppna skivor ger en kompakt yta med k ojämna cirklar för gränskomponenter. De exakta platserna för hålen är irrelevanta, eftersom homeomorfismgruppen verkar k-transitivt på alla anslutna grenrör av dimension åtminstone 2.
omvänt är gränsen för en kompakt yta en sluten 1-grenrör, och är därför den ojämna föreningen av ett begränsat antal cirklar; att fylla dessa cirklar med skivor (formellt tar konen) ger en sluten yta.
den unika kompakta orienterbara ytan av genus g och med K-gränskomponenter betecknas ofta som CB , k, {\displaystyle \ Sigma _{g, k},}
till exempel i studien av kartläggningsklassgruppen.
Riemann surfacesEdit
en Riemann yta är en komplex 1-grenrör. På en rent topologisk nivå är en Riemann-yta därför också en orienterbar yta i betydelsen av denna artikel. Faktum är att varje kompakt orienterbar yta kan realiseras som en Riemann-yta. Således kännetecknas kompakta Riemann-ytor topologiskt av deras släkt: 0, 1, 2,…. Å andra sidan karakteriserar släktet inte den komplexa strukturen. Till exempel finns det uncountably många icke-isomorfa kompakta Riemann-ytor av genus 1 (de elliptiska kurvorna).
icke-kompakta ytorredigera
icke-kompakta ytor är svårare att klassificera. Som ett enkelt exempel kan en icke-kompakt yta erhållas genom punktering (avlägsnande av en ändlig uppsättning punkter från) ett slutet grenrör. Å andra sidan är varje öppen delmängd av en kompakt yta i sig en icke-kompakt yta; överväga till exempel komplementet till en Kantoruppsättning i sfären, annars känd som Kantorträdytan. Men inte alla icke-kompakta ytor är en delmängd av en kompakt yta; två kanoniska motexempel är Jakobs stege och Loch Ness-monsteret, som är icke-kompakta ytor med oändligt släkt.
en icke-kompakt yta M har ett icke-tomt utrymme av ändar E (M), som informellt beskriver hur ytan ”går till oändlighet”. Utrymmet E (M) är alltid topologiskt ekvivalent med ett slutet delrum av Kantoruppsättningen. M kan ha ett ändligt eller oändligt antal nh av handtag, såväl som ett ändligt eller oändligt antal NP av projektiva plan. Om både Nh och Np är ändliga, klassificerar dessa två tal och den topologiska typen av ändutrymme ytan M upp till topologisk ekvivalens. Om endera eller båda av Nh och Np är oändliga, beror den topologiska typen av M inte bara på dessa två tal utan också på hur de oändliga närmar sig ändutrymmet. I allmänhet bestäms den topologiska typen av M av de fyra delområdena av E (M) som är gränspunkter för oändligt många handtag och oändligt många projektiva plan, gränspunkter för endast handtag och gränspunkter för varken.
ytor som inte ens är andratalbara redigera
om man tar bort antagandet om andratalbarhet från definitionen av en yta finns det (nödvändigtvis icke-kompakta) topologiska ytor som inte har någon räknbar bas för deras topologi. Kanske är det enklaste exemplet den kartesiska produkten av den långa linjen med utrymmet för reella tal.
en annan yta som inte har någon räknbar bas för sin topologi, men som inte kräver det Axiom som valts för att bevisa dess existens, är PR-Askorfer-grenröret, som kan beskrivas med enkla ekvationer som visar att det är en verklig analytisk yta. Pr-Tuber-grenröret kan betraktas som det övre halvplanet tillsammans med ytterligare en ”tunga” Tx som hänger ner från den direkt under punkten (x,0), för varje riktigt x.
1925 visade Tibor rad-Bronkioli att alla Riemann-ytor (dvs. endimensionella komplexa grenrör) nödvändigtvis är andra-räknbara (rad-Kazakis sats). Däremot, om man ersätter de reella talen i konstruktionen av PR-Jacobfer-ytan med de komplexa talen, får man ett tvådimensionellt komplext grenrör (vilket nödvändigtvis är ett 4-dimensionellt verkligt grenrör) utan räknbar bas.
ProofEdit
klassificeringen av slutna ytor har varit känd sedan 1860-talet, och idag finns ett antal bevis.
topologiska och kombinatoriska bevis i allmänhet förlitar sig på det svåra resultatet att varje kompakt 2-grenrör är homeomorf till ett förenklat komplex, vilket är av intresse för sig själv. Det vanligaste beviset på klassificeringen är (Seifert & Threlfall 1934) harv error: inget mål: CITEREFSeifertThrelfall1934 (hjälp), vilket ger varje triangulerad yta till en standardform. Ett förenklat bevis, som undviker en standardform, upptäcktes av John H. Conway cirka 1992, som han kallade ”Zero Irrelevancy Proof” eller ”ZIP proof” och presenteras i (Francis & veckor 1999).
ett geometriskt bevis, som ger ett starkare geometriskt resultat, är uniformeringssatsen. Detta bevisades ursprungligen endast för Riemann-ytor på 1880-och 1900-talet av Felix Klein, Paul Koebe och Henri Poincar Asia.