om #S# är en uppsättning objekt med en binär operation #@# (t.ex. addition eller multiplikation), sägs det vara stängt under #@# om och endast om #A@b I S# för alla #A, b I s#.
det vill säga, med tanke på två element #a# och #b# av #S#, uttrycket #a@b# ger dig ett annat element i #S#.
så till exempel uppsättningen jämn heltal #{ 0, 2, -2, 4, -4, 6, -6,… } # stängs under både addition och multiplikation, eftersom om du lägger till eller multiplicerar två jämna heltal får du ett jämnt heltal.
som kontrast stängs uppsättningen udda heltal under multiplikation men inte stängd under addition.
detta blir mycket mer intressant när vi också behöver stängning Under identitet och invers.
till exempel har de rationella siffrorna # QQ# egenskaperna:
-
stängd under addition # + # och multiplikation #*#
-
innehålla en identitet # 0 # för addition och #1 # för multiplikation.
-
innehåller additiva inverser för något element.
-
innehåller multiplikativa inverser för alla element som inte är noll.
-
olika andra egenskaper som kokar ner till addition och multiplikation som fungerar som normalt (kommutativitet, associativitet, distributivitet, etc).
de rationella siffrorna sägs bilda ett fält.
vad händer när vi lägger till #sqrt(2)# till uppsättningen rationella tal?
det slutar stängas under addition eller multiplikation. Exempelvis:
-
om du lägger till något rationellt tal till #sqrt (2)# får du ett annat irrationellt tal.
-
om du multiplicerar något irrationellt tal(bortsett från #0# eller #1#) med #sqrt (2)# får du ett annat irrrationellt nummer.
för att göra det stängt igen måste vi inkludera alla nummer i formuläret:
#a + bsqrt(2)#
där # A, b i QQ #
då hittar vi:
#(a + bsqrt (2)) + (c + dsqrt (2)) = (a + c)+(b + d)sqrt(2)#
#(a + bsqrt (2)) * (c+dsqrt(2)) = (ac+bd) + (ad+bc) sqrt(2)#
#(a + bsqrt (2))+((- a)+(- b)sqrt(2)) = 0#
#(a + bsqrt (2)) * ((a / (a^2-2b^2))-(b/(a^2-2b^2))sqrt(2)) = 1#
den knepiga är den sista, som i grunden berättar för oss att siffrorna i formen #a+bsqrt(2)# är stängda under multiplikativ invers. Man kan säga att icke-nollnummer i formuläret #a + bsqrt (2) # är stängda under division.