Vad är en Christoffel symbol?

här är det bästa sättet att tänka på Christoffel-symbolerna, åtminstone för en nybörjare.

Antag att du vill veta om/hur en vektor ändras från en punkt till en annan i ditt underliggande grenrör, dvs rymdtid. Med andra ord vill du differentiera ditt vektorfält. Det finns två anledningar till att du kan registrera en ändring i vektorfältet i dina beräkningar:

1. vektorn i sig kan faktiskt vara annorlunda vid en punkt än vid den andra eller
2. vektorn kan beskrivas med olika basvektorer vid de två punkterna. (När du ändrar en grund kommer komponenterna i de saker du beskriver att förändras.)

varje förändring du upptäcker i vektorns värde från en punkt till en annan kan vara från endera eller båda dessa källor.

den viktiga punkten är att när du bedömer om en vektor (fält) har förändrats när du går från en punkt till en annan i rymdtid, behöver du något i din matematik för att redogöra för det faktum att din grund (dvs. ditt koordinatsystem) har förändrats under vägen, förutom eventuella förändringar som kan ha inträffat i själva vektorn själv.

det vanliga partiella derivatet gör inte detta. Det förutsätter bara att grunden inte förändras. I det mest allmänna fallet kommer dock basvektorerna att förändras. För att redogöra för detta ersätter vi det vanliga partiella derivatet med det som kallas kovariantderivatet. Den del av det kovarianta derivatet som håller reda på förändringar som härrör från förändring av grunden är Christoffel-symbolerna. De kodar hur mycket basvektorerna förändras när vi rör oss längs själva basvektorernas riktning.

hur är detta användbart i allmän relativitet? Det beror på att GR modeller gravitation som krökningen av rumtiden grenrör, och information om denna krökning är kodad i Christoffel symboler.

men om Christoffelsymbolerna är basberoende (och vi har just sagt att de är – olika koordinatsystem/basvektorer ger dig olika värden för Christoffelsymbolerna), hur kan de ge information om krökningen hos det underliggande grenröret, vilket borde vara oberoende av koordinatsystemet?

Christoffel-symbolerna ger inte krökningen direkt. Från vad vi har sagt hittills är det uppenbart att för att Christoffel-symbolerna ska vara noll identiskt, får basvektorerna inte förändras när vi går från punkt till punkt. Det betyder att vi inte kommer att införa några falska ändringar i våra vektorfält genom att inte redovisa förändring av grunden.

två saker som är viktiga att känna igen:

1. icke-noll Christoffel symboler betyder inte grenröret har krökning. Allt det betyder är att du använder ett basvektorfält som ändrar längd och/eller riktning från punkt till punkt. Ett vanligt exempel är polära koordinater på planet. Dessa basvektorer ändras från punkt till punkt, t.ex. basvektorn i theta-riktningen blir längre ju längre du kommer från ursprunget i radiell riktning. Detta innebär att du kommer att ha åtminstone några icke-noll Christoffel symboler. Men det är tydligt att utrymmet inte är krökt.

   1. försvinnande Christoffel symboler betyder inte att utrymmet inte har någon krökning. Det kan innebära att du reser längs en bana som kallas geodetisk. (Detta är generaliseringen av raka linjer genom vanligt platt utrymme är ’ det kortaste avståndet mellan två punkter.’) Den fysiska motsvarigheten till detta är fritt fall.

eftersom Christoffelsymbolerna låter oss definiera ett kovariantderivat (dvs. ett derivat som tar hänsyn till hur basvektorerna förändras), det tillåter oss att definiera ’parallell transport’ av en vektor. Dvs Christoffel-symbolen berättar vad det innebär att säga att en vektor flyttas från en punkt till en annan på ett sätt som den förblir ’parallell med sig själv’. ’Parallellt med sig själv’ betyder bara ’kovariant derivat försvinner’.

definitionen av krökning (åtminstone en av dem) beror på denna parallella transportprocess, som möjliggörs av det kovarianta derivatet, vilket i sin tur möjliggörs av Christoffel-symbolerna.

Grundtanken är att om vi parallellt transporterar en vektor över en slinga (dvs kommer tillbaka till vår utgångspunkt), slutar vi inte nödvändigtvis med samma vektor som vi började med. Detta är sant även om vi transporterade vektorn på ett ’självparallellt’ sätt. Det avgörande faktumet för krökning är inte bara att vi slutar med en annan vektor än vi började med (det kan hända vid nollkurvatur) men det exakt vilken vektor vi slutar med beror på vilken väg vi tog. Så om du transporterar en vektor ’parallell med sig själv’ längs vägarna a och b, slutar du med två olika vektorer ’parallella’ med den du började med. Om det händer, är ditt utrymme per definition krökt.

Sammanfattningsvis kan skillnaden mellan ett plant utrymme och ett krökt utrymme sättas så här: i ett plant utrymme är det möjligt att bygga ett koordinatsystem där Christoffel-symbolerna försvinner överallt, dvs där basvektorerna är desamma vid varje punkt. I ett krökt utrymme är detta omöjligt. Du kan inte få alla Christoffel-symbolerna att försvinna i ett krökt utrymme, helt enkelt för att om du kunde, skulle det bara inte vara krökt. Det skulle vara platt!

Vad har allt detta att göra med fysik? Tja,du kan tänka på gravitation som härrör från krökning av rymdtid, med hjälp av gummiplåtsanaloger etc. Men jag tycker att det är mer användbart att tänka på gravitation som helt enkelt härrör från detta behov att korrigera för hur den underliggande rymdtiden tvingar oss att använda olika basvektorer på olika punkter. I relativitetsteorin är den fysiska motsvarigheten till ’förändring av grund’ förändring av rörelsetillstånd. Precis som termer som uppstår enbart från grundförändringar återspeglar inte faktiska fakta om vektorer – bara artefakter av hur vi väljer att beskriva vektorer – termer som härrör från förändringar i rörelsetillstånd återspeglar inte verkliga fysiska fakta.

Detta är hjärtat i Einsteins utvidgning av Galileos revolutionära uppfattning om relativitet – att fysikens lagar är vad de är, oavsett ditt rörelsetillstånd. Allt som beror på ditt rörelsetillstånd är inte ett faktum utan en artefakt och bör avfärdas som sådan. Detta ledde Einstein (och andra) till tanken att universums sanna lagar borde vara de som gäller oavsett koordinatsystem/rörelsetillstånd. De Christoffel symboler kan ses som termer i ekvationerna som gör det så att de håller sant för alla tillstånd av rörelse.

så i en mening kan vi säga att gravitationens existens både följer av och innebär att fysikens lagar är desamma oavsett hur du rör dig, i den meningen att om tyngdkraften inte fungerade som den gör, skulle olika observatörer formulera olika lagar beroende på deras parochiala perspektiv (och vice versa).