Abstrakt
Clebsch—Gordan koefficienter där de tre vinkel momenta, j 1, j 2, och j = j 3, är omordnade kan helt enkelt vara relaterade till varandra. Det mest triviala fallet innebär utbyte av ordningen för kvantnummer, j 1 m 1 och j 2 m 2. Tillståndsvektorn db j 1, J 2 j 2 m 2 är en direkt produkt av två vektorer som involverar separata delrum i hela Hilbertutrymmet, eller när det gäller koordinatrepresentationen är vågfunktionen en produkt av funktioner som involverar olika variabler. Till exempel kan vara en funktion av orbitalvariabler och kan vara en funktion av spinnvariabler. Således bör produkten av dessa två funktioner inte bero på i vilken ordning vi skriver de två funktionerna. Därför , när vi utökar denna produktfunktion i terras av den totala vinkelmomentets egenfunktioner, måste resultatet vara oberoende av den ordning i vilken vi skriver den ursprungliga produktfunktionen, eller , med eventuellt undantag för en över-alla fasfaktor. Denna fasfaktor kommer in eftersom vår faskonvention som fastställer det övergripande tecknet på Clebsch-Gordan-koefficienterna föredrar vinkelmomentet som sitter i nummer 1 och nummer 3—positionerna för Clebsch-Gordan-koefficienten. Således, j 1 j 1 J 2 m 2 j 3 J 3 måste vara positivt av vår fas konvention. På samma sätt måste även J 2 j 2 j 1 m 1 j 3 J 3 J vara positiv. Tvärtom har Clebsch-Gordan-koefficienten XXL j 1 m 1 J 2 j 2 XL j 3 J 3 xlxl tecknet med M 1 = j 3-j 2 Därför är dess tecken.