”ingen kommer att driva oss från paradiset som Cantor skapade för oss” – David Hilbert
vilket bättre sätt att spendera isolerat än att begrunda det oändliga? Låt oss bevisa kanske det enklaste och mest eleganta beviset i matematik: Cantor ’ s Theorem.
jag sa enkel och elegant, inte lätt men!
Del I: Anger problemet
Cantor’s theorem svarar på frågan om en uppsättnings element kan sättas i en en-till-en-korrespondens (’parning’) med dess delmängder. (Tekniskt sett en bijektion). Denna typ av problem har att göra med ett matematiskt begrepp som kallas ’kardinalitet’. Vi kan se en en-till-en korrespondens som någon form av set-teoretisk matematisk dejting: vi vill att varje element i uppsättningen för att hitta sin romantiska match i en annan uppsättning, men vill undvika polygami, och vi vill undvika matematiska objekt är singel.
till exempel har uppsättningen {1,2,3} 3 element: 1, 2, 3.
den har 8 delmängder: {1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3}, {1,3}, {}, {1,2,3}
där {} är känd som’Tom uppsättning’. Du kan ignorera det lyckligt för nu om det gör dig obekväm: det kommer inte att vara viktigt. Alternativt kan du se ovanstående som tre bollar numrerade 1,2,3 och delmängderna som de olika sätten du kan lägga bollar i en liten säck. En sak du kan göra är att sätta ingenting i säcken: den tomma uppsättningen.
hittills ,så * lätt*. När allt kommer omkring, för ändliga uppsättningar visar det sig vara ganska uppenbart. Om en uppsättning har N-element, har uppsättningen delmängder 2 * * n-element. I ovanstående uppsättning {1,2,3} har 3 element, och uppsättningen delmängder (det är en munfull och förvirrande att läsa, men titta på exemplet för att unconfuse dig själv!) har 8 element. 8 = 2*2*2 = 2**3 som jag lovade.
* * * uttalandet ’uppsättningen delmängder’ kan vara lite skrämmande. För att känna dig lite mer bekväm, försäkra dig först om att en delmängd är ett förnuftigt matematiskt objekt. Om jag har några matematiska objekt kan jag gruppera några av dem tillsammans och lämna andra ut. Du kan se originaluppsättningen som alla dina fotbollsspelare och uppsättningen delmängder som alla potentiella lag du kan göra från dessa spelare, av alla storlekar. När vi kommer till ett oändligt antal spelare kan det bli lite svårare att konceptualisera, men grundtanken är densamma.***
men Cantor hade satt siktet större. Vad sägs om uppsättningar med ett oändligt antal element? Kan vi jämföra storleken på två uppsättningar med ett oändligt antal element? (Spoiler: ja.)
steg II: beviset
Cantor antar att du har hittat en parning som fungerar.
det vill säga du har en funktion, som du lägger in ett element i en uppsättning, och utgången är en delmängd. Inte bara det, men för varje delmängd kan du peka på ett element som får ’mappas’ eller ’skickas’ av funktionen i den delmängden. Dessutom skickas inga två element till samma delmängd.
i exemplet ovan kan någon Föreslå funktionen som skickar 1 till uppsättningen {1}, 2 till uppsättningen {2,3} och 3 till uppsättningen {1,2}. Men ingenting skickas till {1,2,3} så klart fungerar det inte.
för att generalisera detta ber Cantor oss att överväga ’den uppsättning element som inte finns i den delmängd de mappas till’. T. ex., i ovanstående 3 skickas till {1,2} Men 3 är inte i {1,2} Så passar kriteriet snyggt.
i vår matematiska setteoretiska dateringsfunktion behöver denna uppsättning också en partner. Men vem kan vara den här uppsättningens partner? Om ett element skickas till den här uppsättningen, kan det inte vara om det finns i den uppsättningen. (dvs en motsägelse). Varför? Eftersom den sedan finns i delmängden av element som den mappades till! Vad händer om det inte finns i den uppsättningen? Då är det också en motsägelse, som om den inte finns i uppsättningen, enligt definitionen av uppsättningen, måste den vara i uppsättningen eftersom den inte finns i den delmängd den är mappad till.
och så är Cantors svarta magi klar. Genom att anta vår magiska matematiska dejting funktion fungerade, vi hittade ett exempel där det inte kunde fungera.