från Office of Academic Technologies på Vimeo.
exempel-magnetfält för en koaxialkabel
låt oss nu beräkna magnetfälten för en koaxialkabel i olika regioner.
B fält av en koaxialkabel. En koaxialkabel består av två koncentriska cylindriska regioner, en inre kärna, ett yttre cylindriskt skal, något liknande detta. Dessa ledande cylindriska regioner separeras av ett isolerande medium från varandra, och eftersom en av dessa cylindrar bär strömmen i en riktning kallas det strömmen som strömmar den inre kärnan som i sub a. det yttre cylindriska skalet bär strömmen i sub b i motsatt riktning.
om vi ger några dimensioner till denna kabel, låt oss säga att denna radie är a, den inre radien för det yttre cylindriska skalet är b och den yttre radien för det andra cylindriska skalet är c.
därför strömmar strömmen genom dessa cylindrar i motsatta riktningar, och vi skulle vilja bestämma magnetfältet för en sådan kabel i olika regioner. Låt oss börja med regionen så att vår intressepunkt, avståndet till centrum, är mindre än radien a. med andra ord, inuti den inre cylindern.
och låt oss titta på det här fallet från ovanifrån och så här har vi, låt oss säga, den inre cylindern från tvärsnittssynpunkt och det yttre cylindriska skalet, något liknande detta, och den inre cylindern bär strömmen i sub a ur planet, och den yttre cylindern bär strömmen i sub b in i planet, överallt i dessa regioner.
återigen är den inre cylinderns radie a, och denna radie är b och radien för den yttre regionen är c. Vi har gjort ett mycket liknande exempel tidigare. Vår första region av intresse är att vår punkt A är inuti den inre cylindern. Låt oss säga någonstans här, och för att hitta magnetfältet på denna plats, som är lite r avstånd från centrum, placerar vi en empirisk slinga i form av en cirkel som sammanfaller med magnetfältlinjen som passerar genom den punkten, och låt oss kalla denna slinga som c1 för den första regionen.
och empire / s-lagen säger att b av dl integrerad över denna slinga, c1, kommer att vara lika med neu 0 gånger nätströmmen som passerar genom regionen eller ytan, omgiven av denna slinga c1.
som vi gjorde i de tidigare exemplen kommer en sådan slinga att uppfylla villkoren för att tillämpa Empires lag, och magnetfältet kommer att vara tangent till fältlinjen och den fältlinjen sammanfaller med slingan som vi väljer och dl är ett inkrementellt förskjutningselement längs denna slinga, därför kommer vinkeln mellan b och dl alltid att vara 0 grader för detta fall.
så, den vänstra sidan kommer att ge oss B magnitud, dl magnitud gånger cosin av 0, integrerad över loop c1, kommer att vara lika med neu 0 gånger jag bifogas.
Cosin av 0 är 1 och b är konstant över denna slinga eftersom slingan sammanfaller med magnetfältlinjen som passerar genom den punkten, och så länge vi är på den fältlinjen kommer vi att se samma magnetfältstorlek. Därför, eftersom storleken är konstant, vi kan ta det utanför integralen, därför, den vänstra sidan vi sluta med b gånger integral av dl över loop c1 är lika med neu 0 gånger jag innesluten.
Integral av c1, integral av dl, över loop c1 kommer att ge oss längden på den slingan, som är omkretsen av den cirkeln, och det kommer att vara lika med 2pi gånger radien för den cirkeln, vilket är lite r gånger b kommer att vara lika med neu 0 gånger jag bifogade.
i bifogad är nätströmmen som passerar genom regionen omgiven av denna slinga c, så det är ytan. Slingan C omger denna gröna skuggade region, och vi vet att genom hela den inre ytan är strömmen som flyter i sub a, som i princip täcker hela denna region här borta, och för att få nätströmmen att strömma genom denna gröna skuggade region kommer vi att definiera strömtätheten, som är ström per enhet tvärsnittsarea, och om vi multiplicerar den strömtätheten med området omgivet av slingan c, kommer vi att få mängden ström som passerar genom den ytan.
därför, om vi går vidare, vi kommer att ha b gånger 2pir, detta är den vänstra sidan, som är lika med neu0 gånger jag innesluten, där i detta fall jag innesluten kommer att vara lika med J gånger området för den regionen, som är pir kvadrat, och här strömtätheten är total ström jag dividerat med den totala tvärsnittsarean av denna tråd, och det är pi gånger en kvadrat.
så, b gånger 2pir kommer att vara neu0 gånger, där jag bifogade kommer vi att ha jag över pia square, och detta är strömtätheten för strömmen som strömmar genom den inre cylindern, och jag borde använda prenumerationen A här eftersom vi definierade mängden ström som strömmar genom den inre cylindern som jag sub a. I sub a över pia square kommer att ge oss strömtätheten, och om vi multiplicerar denna ström per ytenhet med det område i regionen som vi är intresserade av, vilket är pir squared, då sluta med den totala strömmen som passerar genom den ytan.
här kommer denna pi och den pi att avbryta, och vi kan avbryta en av dessa r-rutor med r på vänster sida, och lämnar b ensam kommer vi att sluta med magnetfält inuti den inre cylindern som neu0 i sub a dividerat med 2pia kvadrat gånger r.
och naturligtvis är detta identiskt resultat med det exempel som vi gjorde tidigare för att få magnetfältprofilen för en strömbärande cylindrisk tråd.
nu, som en andra region, låt oss betrakta magnetfältet för regionen som vår intressepunkt är mellan de två cylindrarna. Med andra ord är r mindre än b och större än en region.
om vi tittar på den regionen pratar vi om den här delen, och i den här delen låt oss säga att vår intressepunkt nu ligger någonstans här borta. Återigen väljer vi en sluten slinga. I det här fallet, låt oss kalla den här som c2, som sammanfaller med magnetfältlinjen som passerar genom intressepunkten p. Nu ligger den i denna region.
och för den regionen är detta vårt yttre cylindriska skalområde som bär strömmen i sub b in i planet. Nu, för denna region, igen, när vi väljer denna slinga som sammanfaller med fältlinjen som passerar genom den punkten kommer det att uppfylla villkoren för att tillämpa ampere lag, och därför kommer den vänstra sidan av ampere lag vara identisk med den föregående delen, och dess kommer att ge oss B notera dl integrerad över nu slinga c2, vilket är lika med neu0 i innesluten. Den vänstra sidan kommer att ge oss, igen, b gånger 2pir. Naturligtvis är avståndet, lilla r, avståndet från centrum till denna punkt för denna region.
och höger sida, för det här fallet, nu ska vi titta på nätströmmen som passerar genom regionen omgiven av slinga c2, med andra ord området omgivet av slinga c2, och det är detta gula skuggade område, och när vi tittar på den ytan ser vi att hela strömmen som strömmar genom den inre cylindern passerar genom denna yta, och naturligtvis är allt utanför denna yta av intresse, och därför, i det här fallet, kommer jag att vara lika med A. Därför, på höger sida, kommer vi att ha neu0 gånger i sub a, och lösa för magnetfältet kommer vi att ha neu0 i sub a över 2pir för denna region.
så det här är fallet, att r är mellan b och A och för föregående del beräknade vi magnetfältet för regionen så att r är mindre än a.
låt oss nu gå framåt och låt oss beräkna magnetfältet inuti det andra cylindriska skalet. Så i det här fallet talar vi om b i regionen där r är mellan c och b.
med andra ord, nu är vi intresserade av den inre regionen i detta andra cylindriska skal. Låt oss anta att i det här fallet är vår intressepunkt någonstans här borta.
nu väljer vi igen vår empiriska slinga så att den sammanfaller med fältlinjen som passerar genom den punkten, därför kommer den att bli, igen, i form av en cirkel, och dess radie, r, mäts nu från mitten och pekar på detta .
låt oss nu kalla denna slinga som c3. Återigen kommer beräkningarna på vänster sida att likna de tidigare delarna. Denna slinga kommer att uppfylla villkoren för att tillämpa Ampere lag. Magnetfältets storlek kommer att vara konstant överallt längs denna slinga och vinkeln mellan b och dl blir 0.
så, Ampere ’ s lag, som är b dot dl, integrerad över loop c3 lika med neu0 jag innesluten kommer så småningom att ge oss, för vänster sida, samma som ovan, kommer att ge oss d gånger dpir, och på höger sida kommer vi att ha neu0 gånger jag bifogade.
nu talar vi om nätströmmen som passerar genom området omgivet av loop c3. Om vi tittar på det området kommer vi att se att vi först och främst talar om detta område nu här, Detta blå skuggade område, i det området ser vi att hela den inre cylindern, eller strömmen som strömmar genom den inre cylindern, kommer att passera genom det området, och för det andra cylindriska skalet ser vi att endast denna mycket del av cylindern kommer att bidra till magnetfältet, eftersom strömmen som strömmar genom regionen som är vår sida av denna specifika yta är av intresse.
därför, eftersom jag sub a strömmar ut ur planet, och jag sub b strömmar in i planet, kommer nätströmmen att vara i grunden skillnaden mellan dessa två strömmar. Så vi kan uttrycka jag innesluten som jag sub a, låt oss välja den här riktningen, vår planriktning som positiv, och det rör sig ut ur planet, det är positivt, och den andra är fraktionen av strömmen som rör sig in i planet och för att uttrycka den måste vi nu uttrycka strömtätheten associerad med det yttre skalet, vilket är total ström som strömmar genom det skalet, och det är jag sub b, dividerat med ledarens totala tvärsnittsarea, vi pratar om det yttre skalet, och den totala tvärsnittsarean för det yttre cylindriska skalet är cylinder minus området för denna lilla cylinder.
så, med andra ord, det kommer att vara lika med pic-kvadrat minus pib-kvadrat, och den delen, detta uttryck, kommer att vara lika med den yttre cylinderns strömtäthet.
och denna täthet gånger intresseområdet kommer att ge oss nettoströmmen som strömmar genom det området. Så, med andra ord, om vi tar produkten av strömtäthet med denna blå skuggade region, skuggade regionens område skulle jag säga, då kommer vi att få nätströmmen att strömma genom den ytan, och det är i grunden pir kvadrat minus pib kvadrat.
okej. Vi kan förenkla detta uttryck genom att skriva det som jag bifogade är lika med i sub a minus i sub b över pi parentes c kvadrat minus b kvadrat gånger pi gånger R kvadrat minus B kvadrat.
här kommer pis att avbryta, och därför kommer jag att vara lika med denna kvantitet. Då b gånger 2pir kommer att vara lika med neu0 gånger jag bifogade och det är jag sub a minus r kvadrat minus B kvadrat, jag sub B dividerat med C kvadrat minus B kvadrat.
för att få magnetfältet lämnar vi den kvantiteten ensam på vänster sida av ekvationen, därför kommer b att vara lika med neu0 över 2pir gånger i sub a minus i sub B gånger R kvadrat minus B kvadrat, dividerat med c kvadrat minus B kvadrat är lika med parentes.
så inuti det yttre cylindriska skalet kommer magnetfältets storlek att vara lika med denna kvantitet. Naturligtvis beror riktningen, nätriktningen för magnetfältet, oavsett om det är medurs eller moturs, på storleken på dessa strömmar, och detta är för regionen som r ligger mellan c och b.
den sista regionen är den yttre regionen av denna koaxialkabel. Så vi går tillbaka till vårt diagram, då pratar vi om att vår intressepunkt ligger någonstans här borta, och igen, genom att välja en empirisk slinga, som passerar genom intressepunkten och sammanfaller med fältlinjen som passerar genom den punkten, punkt p, och det är r avstånd från centrum.
den vänstra sidan av Ampere lag, låt oss kalla denna slinga som c4, Ampere lag för detta fall kommer att vara b notera dl integrerad över loop c4, som kommer att kallas neu0 gånger jag inneslutna, och den vänstra sidan, återigen, kommer att likna de tidigare delarna, vilket kommer att ge oss b gånger 2pir, och det kommer att vara lika med, för jag innesluten nu, vi ska titta på vårt diagram, vi talar om nettoströmmen som passerar genom det område som omges av nu, hela, och det är omgivet av Loop C4, som vi pratar om hela regionen, och vi kan lätt se att hela ström som passerar genom koaxialkabeln passerar genom denna punkt, passerar genom denna yta, och det är jag sub a kommer ut ur planet och jag sub b går in i planet.
som ett resultat av detta kommer nätströmmen som passerar genom området omgivet av empirisk slinga c4 att vara lika med i sub a minus i sub b eftersom de flyter i motsatta riktningar, därför kommer vi på höger sida att ha neu0 gånger i sub a minus i sub b och lösa för magnetfält vi kommer att sluta med det slutliga uttrycket av neu0 2pir gånger i sub a minus i sub b.
och detta är magnetfältet som genereras utanför denna koaxialkabel. Det är för regionen att r är större än c.
okej. Tja, om jag sub a är lika med i sub b, om dessa två strömmar, att de är lika stora eftersom de flyter i motsatta riktningar, då kommer jag att vara lika med 0. Det betyder att magnetfältet utanför koaxialkabeln kommer att vara 0 för r större än C-regionen.