cirkulära banor

det detaljerade beteendet hos verkliga banor är celestial mechanics oro (se artikeln celestial mechanics). Detta avsnitt behandlar endast den idealiserade, enhetliga cirkulära banan på en planet som jorden om en central kropp som solen. Faktum är att jordens bana om solen inte är helt exakt likformigt cirkulär, men det är en nära nog approximation för denna diskussion.

en kropp i enhetlig cirkulär rörelse genomgår hela tiden en centripetalacceleration som ges genom ekvation (40). Enligt Newtons andra lag krävs en kraft för att producera denna acceleration. När det gäller en kretsande planet är kraften gravitation. Situationen illustreras i Figur 9. Solens gravitationella attraktion är en inre (centripetal) kraft som verkar på jorden. Denna kraft producerar centripetalaccelerationen av orbitalrörelsen.

innan dessa tankar uttrycks kvantitativt är en förståelse för varför en kraft behövs för att upprätthålla en kropp i en omlopp med konstant hastighet användbar. Anledningen är att planetens hastighet vid varje ögonblick är tangent till banan. I avsaknad av gravitation skulle planeten lyda tröghetslagen (Newtons första lag) och flyga i en rak linje i hastighetsriktningen med konstant hastighet. Tyngdkraften tjänar till att övervinna planetens tröghetstendens och därigenom hålla den i omlopp.

gravitationskraften mellan två kroppar som solen och jorden ges av

där MS och ME är massorna av solen och jorden, respektive, r är avståndet mellan sina centra, och G är en universell konstant lika med 6.674 20-11 11 nm2/kg2 (Newton meter kvadrat per kilo kvadrat). Kraften verkar längs den riktning som förbinder de två kropparna (dvs. längs radievektorn för den enhetliga cirkulära rörelsen), och minustecknet betyder att kraften är attraktiv och verkar för att dra jorden mot solen.

till en observatör på jordens yta verkar planeten vara i vila på (ungefär) ett konstant avstånd från solen. Det verkar därför för observatören att varje kraft (som solens gravitation) som verkar på jorden måste balanseras av en lika och motsatt kraft som håller jorden i jämvikt. Med andra ord, om tyngdkraften försöker dra jorden i solen, måste någon motsatt kraft vara närvarande för att förhindra att det händer. I verkligheten finns ingen sådan kraft. Jorden är i fritt accelererad rörelse orsakad av en obalanserad kraft. Den uppenbara kraften, känd inom mekanik som en pseudoforce, beror på att observatören faktiskt är i accelererad rörelse. I fallet med orbitalrörelse kallas den yttre pseudoforce som balanserar tyngdkraften centrifugalkraften.

för en enhetlig cirkulär bana producerar tyngdkraften en inre acceleration som ges av ekvation (40), a = −v2/r. pseudoforce f som behövs för att balansera denna acceleration är precis lika med Jordens massa gånger en lika och motsatt acceleration, eller f = MEv2/r. den jordbundna observatören tror då att det inte finns någon nettokraft som verkar på planeten—dvs., att F + f = 0, där F är tyngdkraften som ges av ekvation (41). Kombinera dessa ekvationer ger en relation mellan hastigheten v av en planet och dess avstånd r från solen:

det bör noteras att hastigheten inte beror på planetens massa. Detta inträffar av exakt samma anledning att alla kroppar faller mot jorden med samma acceleration och att perioden för en pendel är oberoende av dess massa. En kretsande planet är i själva verket en fritt fallande kropp.

ekvation (42) är ett speciellt fall (för cirkulära banor) av Keplers tredje lag, som diskuteras i artikeln celestial mechanics. Med hjälp av det faktum att v = 2NR/T, där 2nr är omloppets omkrets och T är tiden för att göra en fullständig bana (dvs T är ett år i planetens liv) är det lätt att visa att T2 = (4 2/GMS)r3. Denna relation kan också tillämpas på satelliter i cirkulär bana runt jorden (i vilket fall måste jag ersättas med MS) eller i omlopp runt någon annan central kropp.