Notation: i en idealisk värld skulle jag använda respektive för koefficienterna för linjär, area och volym expansion. Tyvärr behöver vi det för förhållandet mellan värmekapacitet. Många använder sig av XNUMX för volymutvidgning, så jag följer det. Vad ska då användas för expansion av området? Jag kommer att använda b, så vi har nu 2B, B, 2B, vilket är väldigt klumpigt. Men vi behöver sällan b, så kanske vi kan överleva.
linjär expansionskoefficient:
expansionskoefficient för området: B
Volymutvidgningskoefficient:
för små temperaturområden kan ökningarna i längd, yta och volym med temperatur representeras av
\ \]
\ \]
och
\ \]
för anisotropa kristaller kan koefficienten vara olika i olika riktningar, men för isotropa material kan vi skriva
\^{2}=A_{1} \ vänster \]
\^{3}=V_{1} \ left\]
således för små expansioner, \ (\hat{b} \ ca 2 \tilde{\alpha}\) och \( \widehat{\beta} \ca 3 \hat{\alpha}\).
ekvationer 13.1.1, 2 och 3 definierar de ungefärliga koefficienterna över ett ändligt temperaturområde. Koefficienterna vid en viss temperatur definieras i termer av derivaten, dvs.
\
\
\
förhållandet b = 2 xnumx xnumx xnumx xnumx xnumx xnumx xnumx xnumx är exakt.
vi specificerar ”vid konstant tryck” eftersom vi uppenbarligen inte vill, i vår definition, förhindra att materialet expanderar genom att öka trycket på det när vi värmer det.
för fasta ämnen är koefficienten för linjär expansion vanligtvis lämplig parameter; för vätskor och gaser är volymkoefficienten vanligtvis lämplig. För de flesta kända vanliga metaller är koefficienten för linjär expansion i storleksordningen 10-5 K−1. Legeringar som nickel-stållegeringen, ”invar”, som används vid klockkonstruktion, kan ha mycket mindre koefficienter. Vanligt glas har en koefficient endast lite mindre än för metaller; pyrex och smält kvarts har en mycket mindre expansion – därmed deras användning i teleskopspeglar. För vätskor och gaser är det vanligtvis volymkoefficienten som citeras. Volymkoefficienten för kvicksilver är ca 0,00018 K-1. Vatten kontraherar faktiskt mellan 0 och 4 oC och expanderar över den temperaturen. Volymkoefficienten för luft vid 0 oC är 0,0037 K-1.
vid rumstemperatur och högre varierar koefficienten för linjär expansion av metaller inte mycket med temperaturen, men vid låga temperaturer varierar expansionskoefficienten mycket snabbare med temperaturen – och det gör också den specifika värmekapaciteten (se avsnitt 8.10). För en given metall varierar variationen av expansionskoefficienten och den specifika värmekapaciteten med temperaturen på ett ganska likartat sätt, så att förhållandet för en given metall är konstant över ett stort temperaturområde.
övning: en fyrkantig metallplatta har ett cirkulärt hål i området 300 cm2 mitt i den. Om den linjära expansionskoefficienten är 2 10-5 C 1 oc, beräkna hålets yta när plattans temperatur höjs genom 100 grader.
övning: visa att volymexpansionskoefficienten för en idealisk gas är 1/T. Jämför detta med det numeriska värdet för luft som anges ovan.
även om klassisk termodynamik inte hanterar detaljerade mikroskopiska processer, är det av intresse att fråga varför ett fast material expanderar vid uppvärmning. Låt oss föreställa oss ett kristallint fast ämne som består av atomer som är förbundna med varandra av små fjädrar, och varje fjäder styrs av Hookes lag, och följaktligen vibrerar varje atom i en parabolisk potential väl och rör sig i enkel harmonisk rörelse. Om vi ökar temperaturen ökar vi vibrationernas Amplitud, men vi ändrar inte atomernas genomsnittliga positioner. Följaktligen skulle vi i en sådan modell inte förvänta oss någon expansion vid uppvärmning. Den verkliga potentialen är emellertid inte parabolisk utan formas, åtminstone kvalitativt, något som Lennard-Jones eller Morse-potentialerna som nämns i kapitel 6, avsnitt 6.8. Om materialet värms upp ökar vibrationernas amplitud, och på grund av de högre ordningens termer i potentialen, som ger potentialen sin asymmetriska anharmoniska form, ökar den genomsnittliga separationen av atomerna verkligen, och så har vi expansion. Således är expansionen vid uppvärmning av ett fast material en följd av atomvibrationernas anharmonicitet och asymmetrin av potentialen i vilken de rör sig.
\
\
sammanfattning
i allmänhet, om längden vid T1 är l1, kommer längden l2 vid T2 att ges av
\
i det fall där dl / dT är konstant, så att \(\alpha= \ frac {\alpha_{0}}{1 + \alpha_{0} T}\), blir detta
\
i det fall där Macau är konstant, så blir det
\
således till den första ordningen av små kvantiteter är alla sorter av aug.
expansionskoefficient som Tensorkvantitet. I kapitel 4 nämnde jag kortfattat att i fallet med en anistropisk kristall är värmeledningskoefficienten en tensorkvantitet. Detsamma gäller för en anisotropisk kristall av expansionskoefficienten. Således, om du under en fysikundersökning ombads att ge exempel på tensorkvantiteter, kan du ge dessa som exempel – även om en liten risk kan vara inblandad om din lärare inte hade tänkt på dessa som tensorer! Expansionskoefficienten för en anisotropisk kristall kan variera i olika riktningar. (På Island Spar-kalciumkarbonat-i en riktning är koefficienten faktiskt negativ.) Om du skär en anisotrop kristall i form av en kub, vars kanter inte är parallella med den kristallografiska axeln, kommer provet vid uppvärmning inte bara att expandera i volym, men det kommer att förändras i form för att bli en icke-rektangulär parallellpiped. Det är emellertid möjligt att skära kristallen i form av en kub så att provet vid uppvärmning expanderar till en rektangulär parallellpiped. Kubens kanter (och den resulterande parallellpiped) är sedan parallella med huvudaxlarna för expansion, och koefficienterna i dessa riktningar är de viktigaste expansionskoefficienterna. Dessa riktningar kommer att vara parallella med de kristallografiska axlarna om kristallen har en av flera symmetriaxlar (men uppenbarligen inte annars)