Suprafață (topologie)

o suprafață închisă este o suprafață compactă și fără limite. Exemple sunt spații precum sfera, torul și sticla Klein. Exemple de suprafețe ne-închise sunt: un disc deschis, care este o sferă cu o puncție; un cilindru, care este o sferă cu două perforări; și banda m Ouxibius. Ca și în cazul oricărui colector închis, o suprafață încorporată în spațiul Euclidian care este închis în raport cu topologia euclidiană moștenită nu este neapărat o suprafață închisă; de exemplu, un disc încorporat în R 3 {\displaystyle \ mathbb {R} ^{3}}

care conține limita sa este o suprafață închisă topologic, dar nu o suprafață închisă.

Clasificarea suprafețelor închisemodificare

câteva exemple de suprafețe închise orientabile (stânga) și suprafețe cu limită (dreapta). Stânga: unele suprafețe închise orientabile sunt suprafața unei sfere, suprafața unui Tor și suprafața unui cub. (Cubul și sfera sunt echivalente topologic între ele.) Dreapta: Unele suprafețe cu limită sunt suprafața discului, suprafața pătrată și suprafața emisferei. Limitele sunt afișate în roșu. Toate cele trei sunt echivalente topologic între ele.

teorema clasificării suprafețelor închise afirmă că orice suprafață închisă conectată este homeomorfă pentru un membru al uneia dintre aceste trei familii:

1. sfera,
2. suma conectată a lui g tori pentru G 1,
3. suma conectată a lui k planuri proiective reale pentru K 1.

suprafețele din primele două familii sunt orientabile. Este convenabil să combinați cele două familii considerând sfera ca suma conectată de 0 tori. Numărul g de tori implicat se numește genul suprafeței. Sfera și torul au caracteristicile Euler 2 și respectiv 0 și, în general, caracteristica Euler a sumei conectate a lui g tori este 2-2G.

suprafețele din a treia familie sunt neorientabile. Caracteristica Euler a planului proiectiv real este 1 și, în general, caracteristica Euler a sumei conectate A k dintre ele este 2 − k.

rezultă că o suprafață închisă este determinată, până la homeomorfism, de două informații: caracteristica sa Euler și dacă este orientabilă sau nu. Cu alte cuvinte, caracteristica și orientabilitatea Euler clasifică complet suprafețele închise până la homeomorfism.

suprafețele închise cu mai multe componente conectate sunt clasificate în funcție de clasa fiecăruia dintre componentele lor conectate și, prin urmare, se presupune în general că suprafața este conectată.

structura Monoidă

Raportând această clasificare la sumele conectate, suprafețele închise până la homeomorfism formează un monoid comutativ sub funcționarea sumei conectate, la fel ca într-adevăr varietățile de orice dimensiune fixă. Identitatea este sfera, în timp ce planul proiectiv real și torul generează acest monoid, cu o singură relație P # P # P = P # T, care poate fi scris și P # K = P # T, deoarece K = P # P. Această relație este uneori cunoscută sub numele de teorema lui Dyck după Walther von Dyck, care a dovedit-o în (Dyck 1888), iar suprafața triplă cruce P # P # P este numită în consecință suprafața lui Dyck.

Geometric, connect-sum cu un torus (# T) adaugă un mâner cu ambele capete atașate la aceeași parte a suprafeței, în timp ce connect-sum cu o sticlă Klein (#K) adaugă un mâner cu cele două capete atașate la laturile opuse ale unei suprafețe orientabile; în prezența unui plan proiectiv (#P), suprafața nu este orientabilă (nu există nicio noțiune de latură), deci nu există nicio diferență între atașarea unui torus și atașarea unei sticle Klein, ceea ce explică relația.

suprafețe cu limită

suprafețe compacte, eventual cu limită, sunt suprafețe închise pur și simplu cu un număr finit de găuri (discuri deschise care au fost îndepărtate). Astfel, o suprafață compactă conectată este clasificată după numărul de componente limită și genul suprafeței închise corespunzătoare – echivalent, după numărul de componente limită, orientabilitatea și caracteristica Euler. Genul unei suprafețe compacte este definit ca genul suprafeței închise corespunzătoare.

această clasificare urmează aproape imediat din clasificarea suprafețelor închise: îndepărtarea unui disc deschis de pe o suprafață închisă produce o suprafață compactă cu un cerc pentru componenta limită, iar îndepărtarea discurilor deschise k produce o suprafață compactă cu cercuri disjuncte k pentru componentele limită. Locațiile precise ale găurilor sunt irelevante, deoarece grupul de homeomorfism acționează k-tranzitiv asupra oricărei varietăți de dimensiuni conectate cel puțin 2.

în schimb, limita unei suprafețe compacte este un 1-colector închis și, prin urmare, este Uniunea disjunctă a unui număr finit de cercuri; umplerea acestor cercuri cu discuri (formal, luând conul) produce o suprafață închisă.

suprafața orientabilă compactă unică a genului g și a componentelor limită k este adesea notată cu G, k, {\displaystyle \ Sigma _ {g, k},}

de exemplu, în studiul grupului de clasă de cartografiere.

Riemann surfacesEdit

o suprafață Riemann este un complex 1-colector. La nivel pur topologic, o suprafață Riemann este, prin urmare, și o suprafață orientabilă în sensul acestui articol. De fapt, fiecare suprafață orientabilă compactă este realizabilă ca suprafață Riemann. Astfel, suprafețele compacte Riemann sunt caracterizate topologic de genul lor: 0, 1, 2,…. Pe de altă parte, genul nu caracterizează structura complexă. De exemplu, există nenumărate suprafețe Riemann compacte non-izomorfe din genul 1 (curbele eliptice).

suprafețe necompacteedit

suprafețele necompacte sunt mai greu de clasificat. Ca un exemplu simplu, o suprafață necompactă poate fi obținută prin perforarea (îndepărtarea unui set finit de puncte dintr-un colector închis). Pe de altă parte, orice subset deschis al unei suprafețe compacte Este el însuși o suprafață necompactă; luați în considerare, de exemplu, complementul unui set Cantor în sferă, altfel cunoscut sub numele de suprafața arborelui Cantor. Cu toate acestea, nu orice suprafață necompactă este un subset al unei suprafețe compacte; două contraexemple canonice sunt Scara lui Iacov și Monstrul din Loch Ness, care sunt suprafețe necompacte cu Gen infinit.

o suprafață non-compactă M are un spațiu non-gol de capete E (M), care descrie în mod informal modurile în care suprafața „se stinge la infinit”. Spațiul E (M) este întotdeauna echivalent topologic cu un subspațiu închis al mulțimii Cantor. M poate avea un număr finit sau infinit număr NH de mânere, precum și un număr finit sau infinit număr NP de planuri proiective. Dacă atât Nh, cât și Np sunt finite, atunci aceste două numere și tipul topologic de spațiu al capetelor clasifică suprafața M până la echivalența topologică. Dacă unul sau ambele Nh și Np sunt infinite, atunci tipul topologic al M depinde nu numai de aceste două numere, ci și de modul în care infinitul(ele) se apropie de spațiul capetelor. În general, tipul topologic de M este determinat de cele patru subspații ale E(M) care sunt puncte limită ale infinit de multe mânere și infinit de multe planuri proiective, puncte limită ale doar mânerelor și puncte limită ale niciunuia.

suprafețe care nu sunt nici măcar numărabile secundedit

dacă se elimină presupunerea contabilității secund din definiția unei suprafețe, există suprafețe topologice (neapărat necompacte) care nu au o bază numărabilă pentru topologia lor. Poate că cel mai simplu exemplu este produsul cartezian al liniei lungi cu spațiul numerelor reale.

o altă suprafață care nu are o bază numărabilă pentru topologia sa, dar care nu necesită axioma de alegere pentru a-și dovedi existența, este pr varietate de valori, care poate fi descrisă prin ecuații simple care arată că este o suprafață real-analitică. Galeria PR Olffer poate fi gândită ca jumătatea superioară a planului împreună cu o „limbă” suplimentară TX atârnată de ea direct sub punct (x,0), pentru fiecare X real.

în 1925, Tibor Rad XV a dovedit că toate suprafețele Riemann (adică, colectoare complexe unidimensionale) sunt neapărat numărabile în al doilea rând (teorema lui Rad XV). În schimb, dacă se înlocuiește numerele reale în construcția suprafeței PR cu numerele complexe, se obține o varietate complexă bidimensională (care este în mod necesar o varietate reală 4-dimensională) fără bază numărabilă.

ProofEdit

clasificarea suprafețelor închise a fost cunoscută încă din anii 1860, iar astăzi există o serie de dovezi.

dovezile topologice și combinatorii se bazează în general pe rezultatul dificil că fiecare 2-colector compact este homeomorf la un complex simplicial, care este de interes în sine. Cea mai comună dovadă a clasificării este (Seifert & Threlfall 1934) eroare harv: fără țintă: CITEREFSeifertThrelfall1934 (ajutor), care aduce fiecare suprafață triangulată la o formă standard. O dovadă simplificată, care evită o formă standard, a fost descoperită de John H. Conway în jurul anului 1992, pe care a numit-o „dovada irelevanței Zero” sau „dovada ZIP” și este prezentată în (Francis & săptămâni 1999).

o dovadă geometrică, care dă un rezultat geometric mai puternic, este teorema uniformizării. Acest lucru a fost dovedit inițial doar pentru suprafețele Riemann în anii 1880 și 1900 de Felix Klein, Paul Koebe și Henri Poincar.