de la Biroul de tehnologii academice pe Vimeo.
exemplu – câmpul Magnetic al unui cablu coaxial
acum să calculăm câmpurile magnetice ale unui cablu coaxial în diferite regiuni.
B câmpul unui cablu coaxial. Un cablu coaxial este format din două regiuni cilindrice concentrice, un miez interior, o carcasă cilindrică exterioară, ceva de genul acesta. Aceste regiuni cilindrice conducătoare sunt separate printr-un mediu izolator unul de celălalt și, deoarece unul dintre acești cilindri poartă curentul într-o direcție, acesta se numește curentul care curge miezul interior ca i sub a. învelișul cilindric exterior poartă curentul i sub b în direcție opusă.
dacă dăm niște dimensiuni acestui cablu, să spunem că această rază este a, raza interioară a carcasei cilindrice exterioare este b, iar raza exterioară a celeilalte carcase cilindrice este c.
prin urmare, curentul curge prin acești cilindri în direcții opuse și am dori să determinăm câmpul magnetic al unui astfel de cablu în diferite regiuni. Să începem cu regiunea astfel încât punctul nostru de interes, Distanța până la centru, să fie mai mic decât raza a. cu alte cuvinte, în interiorul cilindrului interior.
și să ne uităm la acest caz din vedere de sus și deci aici avem, să spunem, cilindrul interior din punct de vedere al secțiunii transversale, și carcasa cilindrică exterioară, ceva de genul acesta, iar cilindrul interior transportă curentul i sub a în afara planului, iar cilindrul exterior transportă curentul i sub b în plan, peste tot în aceste regiuni.
din nou, raza cilindrului interior este a, iar această rază este b și raza regiunii exterioare este c. Ei bine, am făcut un exemplu foarte similar mai devreme. Prima noastră regiune de interes este că punctul nostru din punctul a se află în interiorul cilindrului interior. Să spunem undeva pe aici, și pentru a găsi câmpul magnetic în această locație, care este la mică distanță r de centru, plasăm o buclă empirică sub forma unui cerc care coincide cu linia câmpului magnetic care trece prin acel punct, și să numim această buclă ca c1 pentru prima regiune.
și Legea Imperiului spune că B de dl integrat peste această buclă, c1, va fi egal cu neu de 0 ori curentul net care trece prin regiune sau suprafața, înconjurat de această buclă c1.
așa cum am făcut în exemplele anterioare, o astfel de buclă va satisface condițiile pentru a aplica legea imperiului, iar câmpul magnetic va fi tangent la linia de câmp, iar acea linie de câmp coincide cu bucla pe care o alegem și dl este un element de deplasare incrementală de-a lungul acestei bucle, prin urmare unghiul dintre B și dl va fi întotdeauna 0 grade pentru acest caz.
deci, partea stângă ne va da b magnitudine, dl magnitudine ori cosin de 0, integrat peste bucla c1, va fi egal cu neu 0 ori am închis.
Cosinul lui 0 este 1 și b este constant peste această buclă, deoarece bucla coincide cu linia câmpului magnetic care trece prin acel punct și, atâta timp cât suntem pe acea linie de câmp, vom vedea aceeași magnitudine a câmpului magnetic. Prin urmare, deoarece magnitudinea este constantă, o putem lua în afara integralei, prin urmare, partea stângă ajungem cu B ori integrala dl peste bucla c1 este egală cu neu 0 ori am închis.
integrala lui C1, integrala lui dl, peste bucla c1 ne va da lungimea acelei bucle, care este circumferința acelui cerc, și care va fi egală cu 2PI ori raza acelui cerc, care este puțin r ori b va fi egală cu neu de 0 ori am închis.
i închis este curentul net care trece prin regiunea înconjurată de această buclă c, astfel încât este suprafața. Bucla c înconjoară această regiune umbrită verde, și știm că prin întreaga suprafață interioară, curentul care curge este i sub a, care acoperă practic această regiune de aici, și pentru a obține curentul net care curge prin această regiune umbrită verde, vom defini densitatea curentului, care este curent pe unitate de secțiune transversală, și dacă înmulțim acea densitate de curent cu zona înconjurată de bucla c, vom obține cantitatea de curent care trece prin acea suprafață.
prin urmare, dacă mergem mai departe, vom avea B ori 2pir, aceasta este partea stângă, care este egală cu neu0 ori am închis, unde în acest caz am închis va fi egală cu J ori aria acelei regiuni, care este PIR pătrat, iar aici densitatea curentului este curentul total am împărțit la aria secțiunii transversale totale a acestui fir, și asta este pi ori pătrat.
deci, B ori 2pir va fi neu0 ori, unde am închis vom avea i peste pia pătrat, și aceasta este densitatea de curent pentru curentul care curge prin cilindrul interior, și ar trebui să folosesc indicele a aici pentru că am definit cantitatea de curent care curge prin cilindrul interior ca i sub a. i sub a peste pia pătrat ne va da densitatea de curent, și dacă vom multiplica acest curent pe unitate de suprafață cu zona regiunii care ne interesează, care este PIR pătrat, atunci vom avea se termină cu curentul total care trece prin acea suprafață.
aici, acest pi și acel pi vor anula, și putem anula unul dintre aceste pătrate r cu r pe partea stângă, și lăsând b singur vom ajunge cu câmp magnetic în interiorul cilindrului interior ca neu0 i sub a împărțit la 2pia pătrat ori r.
și, desigur, acest lucru este rezultat identic cu exemplul pe care l-am făcut mai devreme pentru a obține profilul câmpului magnetic al unui fir cilindric care transportă curent.
acum, ca a doua regiune, să luăm în considerare câmpul magnetic pentru regiunea în care punctul nostru de interes este între cei doi cilindri. Cu alte cuvinte, r este mai mic decât b și mai mare decât o regiune.
dacă ne uităm la acea regiune, vorbim despre această parte, și în această parte să spunem că punctul nostru de interes este acum situat undeva aici. Din nou, alegem o buclă închisă. În acest caz, să-l numim pe acesta ca c2, care coincide cu linia câmpului magnetic care trece prin punctul de interes p. acum este situat în această regiune.
și pentru acea regiune, aceasta este regiunea noastră exterioară cilindrică care transportă curentul i sub b în plan. Acum, pentru această regiune, din nou, când alegem această buclă care coincide cu linia de câmp care trece prin acel punct, va satisface condițiile pentru a aplica legea amperului și, prin urmare, partea stângă a legii amperului va fi identică cu partea anterioară și ne va da nota B dl integrată peste bucla acum c2, care este egală cu neu0 i închis. Partea stângă ne va da, din nou, b ori 2pir. Desigur, acum, distanța, micul r, este Distanța de la centru până la acest punct pentru această regiune.
și partea dreaptă, pentru acest caz, acum ne vom uita la curentul net care trece prin regiunea înconjurată de bucla c2, cu alte cuvinte, zona înconjurată de bucla c2, și aceasta este această zonă umbrită galbenă, și când ne uităm la acea suprafață vedem că întregul curent care curge prin cilindrul interior trece prin această suprafață și, desigur, orice în afara acestei suprafețe este de interes și, prin urmare, în acest caz, am închis va fi egal cu pur și simplu curentul care curge prin cilindrul interior, care este a. Prin urmare, în partea dreaptă, vom avea neu0 ori i sub a, iar rezolvarea câmpului magnetic vom avea neu0 i sub a peste 2pir pentru această regiune.
deci, acesta este cazul, că r este între b și a și pentru partea anterioară am calculat câmpul magnetic pentru regiune astfel încât r este mai mic decât a.
acum să mergem mai departe și să calculăm câmpul magnetic din interiorul celeilalte cochilii cilindrice. Deci, în acest caz, vorbim despre b în regiunea în care r este între c și b.
cu alte cuvinte, acum suntem interesați de regiunea interioară a acestei alte cochilii cilindrice. Să presupunem că, în acest caz, punctul nostru de interes este undeva aici.
acum alegem din nou bucla noastră empirică astfel încât să coincidă cu linia de câmp care trece prin acel punct, prin urmare, va fi, din nou, sub forma unui cerc, iar raza sa, r, acum este măsurată din centru, arătând acest lucru .
acum să numim această buclă ca c3. Din nou, calculele din partea stângă vor fi similare cu părțile anterioare. Această buclă va satisface condițiile pentru a aplica legea Ampere. Magnitudinea câmpului magnetic va fi constantă peste tot de-a lungul acestei bucle, iar unghiul dintre B și dl va fi 0.
deci, Legea lui Ampere, care este B Dot dl, integrat peste bucla C3 egală cu neu0 i închis ne va da în cele din urmă, pentru partea stângă, la fel ca mai sus, ne va da d ori dpir, iar pe partea dreaptă vom avea neu0 ori am închis.
acum vorbim despre curentul net care trece prin zona înconjurată de bucla c3. Dacă ne uităm la acea zonă vom vedea că, în primul rând, vorbim despre această zonă acum aici, această zonă albastră umbrită, în acea regiune vedem că întregul cilindru interior, sau curentul care curge prin cilindrul interior va trece prin acea zonă, iar pentru cealaltă carcasă cilindrică vedem că doar această mare parte a cilindrului va contribui la câmpul magnetic, deoarece curentul care curge prin regiunea care este partea noastră a acestei suprafețe specifice este de interes.
prin urmare, din moment ce i sub a curge din plan și i sub b curge în plan, curentul net va fi practic diferența dintre acești doi curenți. Deci, putem exprima i închis ca i sub a, să alegem această direcție, direcția planului nostru ca fiind pozitivă, și care se deplasează din plan, adică pozitivă, iar cealaltă este fracțiunea curentului care se mișcă în plan și pentru a-l exprima pe acesta trebuie să exprimăm acum densitatea de curent asociată cu învelișul exterior, care este curentul total care curge prin acea coajă, și acesta este i sub b, împărțit la suprafața totală a secțiunii transversale a conductorului, vorbim despre învelișul exterior, iar aria totală a secțiunii transversale a învelișului cilindric exterior este aria acestei suprafețe mari de curent care curge prin învelișul exterior, și care este i sub b, împărțită la suprafața totală a secțiunii transversale a conductorului, vorbim despre învelișul exterior, iar aria totală a secțiunii transversale a învelișului cilindric exterior este aria acestei suprafețe mari de curent care curge prin învelișul exterior cilindru minus zona acestui cilindru mic.
deci, cu alte cuvinte, care va fi egal cu pic pătrat minus pib pătrat, și acea parte, această expresie, va fi egală cu densitatea de curent a cilindrului exterior.
și această densitate ori zona de interes ne va da curentul net care curge prin acea zonă. Deci, cu alte cuvinte, dacă luăm produsul densității de curent cu această regiune albastră umbrită, ar trebui să spun zona regiunii umbrite, atunci vom obține curentul net care curge prin acea suprafață, și care este practic PIR pătrat minus pib pătrat.
bine. Putem simplifica această expresie scriind-o așa cum am închis este egal cu i sub a minus i sub b peste paranteza pi c pătrat minus B pătrat ori pi ori R pătrat minus B pătrat.
aici pis-ul se va anula și, prin urmare, am închis va fi egal cu această cantitate. Apoi b ori 2pir va fi egal cu neu0 ori am închis și că este i sub a minus R pătrat minus B pătrat, i sub b împărțit la C pătrat minus B pătrat.
pentru a obține câmpul magnetic lăsăm acea cantitate singură pe partea stângă a ecuației, prin urmare, b va fi egal cu neu0 de peste 2pir ori i sub a minus i sub b ori R pătrat minus B pătrat, împărțit la C pătrat minus B pătrat este egal cu paranteza.
deci, în interiorul carcasei cilindrice exterioare, magnitudinea câmpului magnetic va fi egală cu această cantitate. Desigur, direcția, direcția netă a câmpului magnetic, indiferent dacă este în sensul acelor de ceasornic sau în sens invers acelor de ceasornic, depinde de magnitudinea acestor curenți și aceasta este pentru regiunea în care r este între c și b.
ultima regiune este regiunea exterioară a acestui cablu coaxial. Deci ne întoarcem la diagrama noastră, apoi vorbim despre faptul că punctul nostru de interes este situat undeva aici, și din nou, alegând o buclă empirică, care trece prin punctul de interes și coincide cu linia de câmp care trece prin acel punct, punctul p, și care este distanța r departe de centru.
partea stângă a legii amperului, să numim această buclă ca c4, legea amperului pentru acest caz va fi nota B dl integrată peste bucla c4, care va fi numită neu0 ori am închis, iar partea stângă, din nou, va fi similară cu părțile anterioare, ceea ce ne va da b ori 2pir, și asta va fi egal cu, pentru I închis acum, ne vom uita la diagrama noastră, vorbim despre curentul net care trece prin zona înconjurată de acum, toată această regiune, și este înconjurat de bucla C4, despre care vorbim despre întreaga regiune, și putem vedea cu ușurință că întregul curentul care trece prin cablul coaxial trece prin acest punct, trece prin această suprafață, și anume i sub a iese din plan și i sub b intră în plan.
ca urmare a acestui fapt, curentul net care trece prin zona înconjurată de bucla empirică c4 va fi egal cu i sub a minus i sub b, deoarece acestea curg în direcții opuse, prin urmare, în partea dreaptă vom avea neu0 ori i sub a minus i sub b, iar rezolvarea câmpului magnetic vom ajunge la expresia finală a neu0 2pir ori i sub a minus i sub b.
și acesta este câmpul magnetic generat în afara acestui cablu coaxial. Aceasta este pentru regiunea în care r este mai mare decât c.
bine. Ei bine, dacă eu sub a este egal cu i sub b, dacă acești doi curenți, că sunt egali în magnitudine, deoarece curg în direcții opuse, atunci eu închis va fi egal cu 0. Aceasta înseamnă că câmpul magnetic în afara cablului coaxial va fi 0 pentru r mai mare decât regiunea C.