„nimeni nu ne va alunga din paradisul pe care Cantor l — a creat pentru noi” – David Hilbert
ce modalitate mai bună de a petrece în izolare decât de a medita la infinit? Să dovedim poate cea mai simplă și mai elegantă dovadă din matematică: Teorema lui Cantor.
am spus simplu și elegant, nu este ușor, deși!
Partea I: Afirmând problema
teorema lui Cantor răspunde la întrebarea dacă elementele unui set pot fi puse într-o corespondență unu-la-unu (‘asociere’) cu subseturile sale. (Tehnic vorbind, o ‘bijecție’). Acest tip de problemă are legătură cu un concept matematic numit cardinalitate. Putem vedea o corespondență unu-la-unu ca un fel de datare matematică teoretică a setului: vrem ca fiecare element din set să-și găsească potrivirea romantică într-un alt set, dar vrem să evităm poligamia și vrem să evităm ca obiectele matematice să fie unice.
de exemplu, setul {1,2,3} are 3 elemente: 1, 2, 3.
are 8 subseturi: {1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3}, {1,3}, {}, {1,2,3}
unde {} este cunoscut sub numele de’set gol’. O poți ignora fericit deocamdată dacă te face să te simți inconfortabil: nu va fi important. Alternativ, Vizualizați cele de mai sus ca trei bile numerotate 1,2,3 și subseturile ca moduri diferite în care puteți pune bilele într-un sac mic. Un lucru pe care îl puteți face este să nu puneți nimic în sac: setul gol.
până acum, atât de ușor*. La urma urmei, pentru seturile finite acest lucru se dovedește a fi destul de evident. Dacă un set are n elemente, atunci setul de subseturi are 2**n elemente. În cele de mai sus, setul {1,2,3} are 3 elemente, iar setul de subseturi (este o gură și confuz de citit, dar uitați-vă la exemplul pentru a vă desconfunda!) are 8 elemente. 8 = 2*2*2 = 2**3 așa cum am promis.
***declarația ‘setul de subseturi’ poate fi un pic descurajantă. Pentru a vă simți puțin mai confortabil, asigurați-vă mai întâi că un subset este un obiect matematic sensibil. Dacă am niște obiecte matematice, le pot grupa pe unele dintre ele și le pot lăsa pe altele afară. Puteți vizualiza setul original ca toți jucătorii dvs. de fotbal și setul de subseturi ca toate echipele potențiale pe care le puteți face de la acei jucători, de orice dimensiune. Când ajungem la un număr infinit de jucători, lucrurile pot deveni puțin mai greu de conceptualizat, dar ideea de bază este aceeași.***
dar Cantor își pusese ochii mai mari. Ce zici de seturi cu un număr infinit de elemente? Putem compara dimensiunea a două seturi cu un număr infinit de elemente? (Spoiler: da.)
Pasul II: dovada
Cantor presupune că ați găsit o asociere care funcționează.
adică aveți o funcție, pe care o puneți într-un element al unui set, iar ieșirea este un subset. Nu numai asta, dar pentru fiecare subset puteți indica un element care devine ‘mapat’ sau ‘trimis’ de funcție în acel subset. De asemenea, nu există două elemente trimise la același subset.
în exemplul de mai sus, cineva ar putea propune funcția care trimite 1 la setul {1}, 2 la setul {2,3} și 3 la setul {1,2}. Dar nimic nu este trimis la {1,2,3} atât de clar că acest lucru nu funcționează.
pentru a generaliza acest lucru, Cantor ne cere să luăm în considerare ‘setul de elemente care nu sunt conținute în subsetul la care sunt mapate’. De exemplu, în cele de mai sus, 3 este trimis la {1,2}, dar 3 nu este în {1,2}, deci se potrivește bine criteriului.
în funcția noastră de datare teoretică a mulțimii matematice, și acest set are nevoie de un partener. Dar cine poate fi partenerul acestui set? Dacă un element este trimis la acest set, atunci dacă este conținut în acel set, atunci nu poate fi. (adică o contradicție). De ce? Pentru că este apoi conținut în subsetul de elemente la care a fost mapat! Dar dacă nu este în acel set? Atunci și asta este o contradicție, ca și cum nu ar fi în set, prin definiția mulțimii, trebuie să fie în set, deoarece nu este conținut în subsetul la care este mapat.
și așa s-a terminat magia neagră a lui Cantor. Presupunând că funcția noastră magică de întâlnire matematică a funcționat, am găsit un exemplu în care nu putea funcționa.