ce este un simbol Christoffel?

Iată cel mai bun mod de a gândi simbolurile Christoffel, cel puțin pentru un începător.

să presupunem că doriți să știți dacă/cum se schimbă un vector de la un punct la altul în varietatea dvs. de bază, adică spațiu-timp. Cu alte cuvinte, doriți să vă diferențiați câmpul vectorial. Există două motive pentru care puteți înregistra o modificare a câmpului vectorial în calculele dvs:

1. vectorul în sine ar putea fi de fapt diferit la un moment dat decât la celălalt sau
2. vectorul ar putea fi descris folosind vectori de bază diferiți în cele două puncte. (Când schimbi o bază, componentele lucrurilor pe care le descrii se vor schimba.)

orice schimbare pe care o detectați în valoarea vectorului de la un punct la altul ar putea fi din una sau ambele surse.

punctul important este că atunci când evaluați dacă un vector (câmp) s-a schimbat pe măsură ce treceți de la un punct la altul în spațiu-timp, aveți nevoie de ceva în matematica dvs. pentru a explica faptul că baza dvs. (adică sistemul dvs. de coordonate) s-a schimbat pe parcurs, în plus față de orice modificări care ar fi putut apărea la vectorul propriu-zis.

derivata parțială obișnuită nu face acest lucru. Doar presupune că baza nu se schimbă. În cel mai general caz, însă, vectorii de bază se vor schimba. Pentru a explica acest lucru, înlocuim derivata parțială obișnuită cu ceea ce se numește derivata covariantă. Partea derivatului covariant care ține evidența schimbărilor care decurg din schimbarea bazei este simbolurile Christoffel. Ele codifică cât de mult se schimbă vectorii de bază pe măsură ce ne deplasăm de-a lungul direcției vectorilor de bază.

cum este acest lucru util în relativitatea generală? Este pentru că GR modelează gravitația ca curbură a colectorului spațiu-timp, iar informațiile despre această curbură sunt codificate în simbolurile Christoffel.

dar dacă simbolurile Christoffel sunt dependente de bază (și tocmai am spus că sunt – sisteme de coordonate diferite/vectori de bază vă vor oferi valori diferite pentru simbolurile Christoffel), cum pot oferi informații despre curbura varietății subiacente, care ar trebui să fie independentă de sistemul de coordonate?

simbolurile Christoffel nu dau curbura direct. Din ceea ce am spus până acum, este clar că pentru ca simbolurile Christoffel să fie zero identic, vectorii de bază nu trebuie să se schimbe pe măsură ce mergem dintr-un punct în altul. Aceasta înseamnă că nu vom introduce nicio modificare falsă a câmpurilor noastre vectoriale prin faptul că nu contabilizăm schimbarea bazei.

două lucruri importante de recunoscut:

1. simbolurile Christoffel diferite de zero nu înseamnă că colectorul are curbură. Tot ce înseamnă este că utilizați un câmp vector de bază care schimbă lungimea și/sau direcția de la un punct la altul. Un exemplu comun este coordonatele polare din avion. Acești vectori de bază se schimbă de la un punct la altul, de ex.vectorul de bază în direcția theta devine mai lung cu cât ajungeți mai departe de origine în direcția radială. Aceasta înseamnă că veți avea cel puțin câteva simboluri Christoffel diferite de zero. Dar în mod clar spațiul nu este curbat.

   1. dispariția simbolurilor Christoffel nu înseamnă că spațiul nu are curbură. Ar putea însemna că călătoriți de-a lungul unei traiectorii cunoscute sub numele de geodezic. (Aceasta este generalizarea liniilor drepte prin spațiul plat obișnuit fiind ‘ cea mai scurtă distanță între două puncte.’) Omologul fizic al acestui lucru este căderea liberă.

deoarece simbolurile Christoffel să definim un derivat covariant (adică. un derivat care ia în considerare modul în care vectorii de bază se schimbă), ne permite să definim ‘transport paralel’ al unui vector. Simbolul Christoffel ne spune ce înseamnă să spunem că un vector este mutat dintr-un punct în altul într-un mod care rămâne paralel cu el însuși. ‘Paralel cu sine’ înseamnă doar ‘derivata covariantă dispare’.

definiția curburii (cel puțin una dintre ele) depinde de acest proces de transport paralel, care este posibil prin derivata covariantă, care este la rândul său posibilă prin simbolurile Christoffel.

ideea de bază este că dacă transportăm în paralel un vector peste o buclă (adică revenind la punctul nostru de plecare), nu ajungem neapărat la același vector cu care am început. Acest lucru este adevărat chiar dacă am transportat vectorul într-o manieră ‘auto-paralelă’. Faptul crucial pentru curbură nu este doar că ajungem cu un vector diferit de cel cu care am început (asta se poate întâmpla în cazul curburii zero), ci că exact vectorul cu care ajungem depinde de calea pe care am luat-o. Deci, dacă transportați un vector ‘ paralel cu el însuși ‘de-a lungul căilor a și b, veți ajunge cu doi vectori diferiți’ paralel ‘ cu cel cu care ați început. Dacă se întâmplă acest lucru, atunci prin definiție spațiul dvs. este curbat.

în rezumat, diferența dintre un spațiu plat și un spațiu curbat poate fi pusă astfel: într-un spațiu plat, este posibil să se construiască un sistem de coordonate în care simbolurile Christoffel dispar peste tot, adică unde vectorii de bază sunt aceiași în fiecare punct. Într-un spațiu curbat, acest lucru este imposibil. Nu poți face ca toate simbolurile Christoffel să dispară într-un spațiu curbat, pur și simplu pentru că dacă ai putea, pur și simplu nu ar fi curbat. Ar fi plat!

ce legătură au toate acestea cu fizica? Ei bine, vă puteți gândi la gravitație ca provenind din curbura spațiu-timpului, folosind analogii de foi de cauciuc etc. Dar mi se pare mai util să ne gândim la gravitație ca la o simplă consecință a acestei nevoi de a corecta modul în care spațiul-timp subiacent ne obligă să folosim vectori de bază diferiți în diferite puncte. În teoria relativității, omologul fizic al schimbării bazei este schimbarea stării de mișcare. La fel cum termenii care decurg exclusiv din schimbările de bază nu reflectă fapte reale despre vectori – doar artefacte ale modului în care alegem să descriem vectorii – termenii care decurg din modificările stării de mișcare nu reflectă fapte fizice reale.

aceasta este inima extinderii de către Einstein a ideii revoluționare a relativității a lui Galileo – că legile fizicii sunt ceea ce sunt, indiferent de starea voastră de mișcare. Orice lucru care depinde de starea dvs. de mișcare nu este un fapt, ci un artefact și ar trebui respins ca atare. Acest lucru l-a condus pe Einstein (și pe alții) la ideea că adevăratele legi ale universului ar trebui să fie cele care sunt adevărate indiferent de sistemul de coordonate/starea de mișcare. Simbolurile Christoffel pot fi văzute ca termeni în ecuațiile care o fac astfel încât să fie valabile pentru toate stările de mișcare.

deci, într-un anumit sens, putem spune că existența gravitației rezultă și implică faptul că legile fizicii sunt aceleași indiferent de modul în care vă mișcați, în sensul că dacă gravitația nu ar funcționa așa cum o face, atunci diferiți observatori ar formula legi diferite în funcție de perspectivele lor parohiale (și invers).