dacă #S# este un set de obiecte cu o operație binară #@# (de exemplu, adunare sau înmulțire), atunci se spune că este închis sub #@# Dacă și numai dacă #A@b în S# pentru toți #A, b în S#.
adică, având în vedere oricare două elemente #a# și #b# din #S#, expresia #A@b# vă oferă un alt element din #S#.
deci, de exemplu, setul de numere întregi pare #{ 0, 2, -2, 4, -4, 6, -6,… }# este închis atât în adunare, cât și în înmulțire, deoarece dacă adăugați sau înmulțiți două numere întregi pare, atunci veți obține un număr întreg par.
prin contrast, mulțimea numerelor întregi impare este închisă la înmulțire, dar nu închisă la adunare.
acest lucru devine mult mai interesant odată ce avem nevoie și de închidere Sub identitate și invers.
de exemplu, numerele raționale #QQ# au proprietățile:
-
închis sub Adăugare # + # și multiplicare #*#
-
conține o identitate # 0# pentru adăugare și # 1# pentru multiplicare.
-
conține inverse aditive pentru orice element.
-
conține inverse multiplicative pentru orice element diferit de zero.
-
diverse alte proprietăți care se reduc la adunare și înmulțire funcționând normal (Comutativitate, asociativitate, distributivitate etc.).
se spune că numerele raționale formează un câmp.
ce se întâmplă când adăugăm #sqrt(2)# la setul de numere raționale?
nu mai este închis sub adunare sau înmulțire. De exemplu:
-
dacă adăugați orice număr rațional la #sqrt (2)#, atunci veți obține un alt număr irațional.
-
dacă înmulțiți orice număr irațional(în afară de #0# sau #1#) cu #sqrt (2)#, atunci obțineți un alt număr irrrațional.
pentru a-l închide din nou, trebuie să includem toate numerele formularului:
#a + bsqrt(2)#
unde #A, b în QQ#
apoi găsim:
#(a + bsqrt(2)) + (C+dsqrt(2)) = (a+c)+(b+d)sqrt(2)#
#(a + bsqrt(2)) * (C+dsqrt(2)) = (ac+bd) + (ad+bc)sqrt(2)#
#(a + bsqrt(2))+((- a)+(- b)sqrt(2)) = 0#
#(a + bsqrt(2)) * ((a / (a^2-2b^2)) – (b / (A^2-2b^2)) sqrt(2)) = 1#
cel complicat este ultimul, care practic ne spune că numerele formei #a+bsqrt(2)# sunt închise sub invers multiplicativ. Ați putea spune că numerele non-zero ale formularului # a + bsqrt( 2) # sunt închise sub diviziune.