Streszczenie
współczynniki Clebscha—Gordana, w których trzy pędy kątowe, j 1, j 2 I j = J 3, są uporządkowane, mogą być po prostu powiązane ze sobą. Najbardziej trywialny przypadek polega na wymianie kolejności liczb kwantowych, j 1 m 1 I j 2 m 2. Wektor stanu ❘ j 1, j 2 j 2 m 2〉 jest bezpośrednim iloczynem dwóch wektorów obejmujących oddzielne podprzestrzenie pełnej przestrzeni Hilberta, lub pod względem reprezentacji współrzędnych funkcja falowa jest iloczynem funkcji obejmujących różne zmienne. Na przykład, może być funkcją zmiennych orbitalnych i może być funkcją zmiennych spinowych. Zatem iloczyn tych dwóch funkcji nie powinien zależeć od kolejności zapisu tych dwóch funkcji. Dlatego też, gdy rozszerzamy tę funkcję iloczynu w terras o całkowitym współczynniku momentu pędu, wynik musi być niezależny od kolejności, w jakiej zapisujemy pierwotną funkcję iloczynu, lub, z możliwym wyjątkiem współczynnika nadmiarowo-fazowego. Ten współczynnik fazowy pojawia się, ponieważ nasza konwencja fazowa ustalająca ogólny znak współczynników Clebscha-Gordana daje pierwszeństwo momentowi kątowemu siedzącemu w pozycjach liczby 1 i liczby 3 współczynnika Clebscha-Gordana. Tak więc 〈j 1 j 1 j 2 m 2❘j 3 j 3〉 musi być dodatnia według naszej konwencji fazowej. Podobnie, 〈j 2 j 2 j 1 m 1❘j 3 j 3〉 również musi być dodatnie. Przeciwnie, współczynnik Clebscha-Gordana 〈j 1 m 1 j 2 j 2❘j 3 j 3〉 ma znak z m 1 = j 3-J 2 stąd jego znakiem jest.