z Office of Academic Technologies na Vimeo.
przykład-pole magnetyczne kabla koncentrycznego
teraz obliczmy pole magnetyczne kabla koncentrycznego w różnych regionach.
B pole kabla koncentrycznego. Kabel koncentryczny składa się z dwóch koncentrycznych cylindrycznych obszarów, wewnętrznego rdzenia, zewnętrznej cylindrycznej powłoki, coś w tym stylu. Te przewodzące obszary cylindryczne są oddzielone od siebie medium izolacyjnym, a ponieważ jeden z tych cylindrów przenosi prąd w jednym kierunku, jest to nazywane prądem płynącym do wewnętrznego rdzenia jako i sub A. zewnętrzna cylindryczna powłoka przenosi prąd i sub B w przeciwnym kierunku.
jeśli podamy pewne wymiary tego kabla, powiedzmy, że ten promień to a, wewnętrzny promień zewnętrznej cylindrycznej powłoki to b, a Zewnętrzny promień drugiej cylindrycznej powłoki to c.
dlatego prąd przepływa przez te cylindry w przeciwnych kierunkach i chcielibyśmy określić pole magnetyczne takiego kabla w różnych regionach. Zacznijmy od regionu tak, że nasz punkt zainteresowania, odległość do centrum, jest mniejsza niż promień a. innymi słowy, wewnątrz wewnętrznego cylindra.
spójrzmy na ten przypadek z góry i mamy tutaj, powiedzmy, wewnętrzny cylinder z przekroju poprzecznego i zewnętrzną cylindryczną powłokę, coś w tym stylu, wewnętrzny cylinder przenosi prąd i sub a poza płaszczyznę, a zewnętrzny cylinder przenosi prąd i sub b do płaszczyzny, wszędzie w tych regionach.
ponownie, promień wewnętrznego cylindra to a, a ten promień to b, a promień zewnętrznego obszaru to c. cóż, zrobiliśmy bardzo podobny przykład wcześniej. Naszym pierwszym obszarem zainteresowania jest to, że nasz punkt punktu A znajduje się wewnątrz wewnętrznego cylindra. Powiedzmy, że gdzieś tutaj, aby znaleźć pole magnetyczne w tym miejscu, które znajduje się w niewielkiej odległości r od centrum, umieszczamy empiryczną pętlę w postaci okręgu, który pokrywa się z linią pola magnetycznego przechodzącą przez ten punkt, i nazwijmy tę pętlę jako C1 dla pierwszego obszaru.
i prawo empire/s mówi, że B DL zintegrowane na tej pętli, c1, będzie równe neu 0 razy prąd netto przepływający przez region lub powierzchnię, otoczony tą pętlą C1.
jak to zrobiliśmy we wcześniejszych przykładach, taka pętla spełni warunki do zastosowania prawa Imperium, a pole magnetyczne będzie styczne do linii pola, a ta linia pola pokrywa się z wybraną przez nas pętlą, a dl jest przyrostowym elementem przemieszczenia wzdłuż tej pętli, dlatego kąt między b i dl będzie zawsze równy 0 stopni w tym przypadku.
więc lewa strona da nam wielkość B, wielkość dl razy cosin z 0, całkowanie przez pętlę c1, będzie równe neu 0 razy i zamknięte.
Cosin z 0 jest równy 1, A B jest stała nad tą pętlą, ponieważ pętla pokrywa się z linią pola magnetycznego przechodzącą przez ten punkt i tak długo, jak będziemy na tej linii pola, zobaczymy tę samą wielkość pola magnetycznego. Zatem, ponieważ wielkość jest stała, możemy wziąć ją poza całkę, więc lewa strona kończy się b razy Całka dl przez pętlę C1 jest równa neu 0 razy i zamknięte.
Całka z C1, Całka z dl, nad pętlą C1 da nam Długość tej pętli, która jest obwodem tego okręgu, i to będzie równe 2pi razy promień tego okręgu, co jest małe r razy b będzie równe neu 0 razy i zamknięte.
i ogrodzony jest prądem sieciowym przepływającym przez obszar otoczony tą pętlą c, więc jest to powierzchnia. Pętla c otacza ten zielony obszar cieniowany, i wiemy, że przez całą wewnętrzną powierzchnię, prąd płynący to i sub a, który w zasadzie obejmuje cały ten obszar tutaj, i aby uzyskać prąd netto płynący przez ten zielony obszar cieniowany, zdefiniujemy gęstość prądu, która jest prądem na jednostkę powierzchni przekroju, i jeśli pomnożymy tę gęstość prądu przez obszar otoczony pętlą c, otrzymamy ilość prądu przepływającego przez tę powierzchnię.
zatem, jeśli przejdziemy dalej, będziemy mieli b razy 2piR, to jest lewa strona, która jest równa neu0 razy i zamknięte, gdzie w tym przypadku i zamknięte będzie równe J razy obszar tego obszaru, który jest PIR kwadrat, i tutaj gęstość prądu jest całkowity prąd i podzielony przez całkowity obszar przekroju tego drutu, i to jest pi razy a kwadrat.
więc, b razy 2piR będzie neu0 razy, gdzie zamknęliśmy będziemy mieć i nad kwadratem pia, i to jest gęstość prądu dla prądu płynącego przez wewnętrzny cylinder, i powinienem użyć indeksu dolnego a tutaj, ponieważ zdefiniowaliśmy ilość prądu płynącego przez wewnętrzny cylinder jako i sub a. i sub a nad kwadratem pia da nam gęstość prądu, i jeśli pomnożymy ten prąd na jednostkę powierzchni przez obszar obszaru, który nas interesuje, czyli PIR kwadrat, to kończymy z całkowitym prądem przepływającym przez tę powierzchnię.
tutaj, to pi i tamto pi anulują się, i możemy anulować jeden z tych kwadratów r z r po lewej stronie, i pozostawiając b sam skończymy z polem magnetycznym wewnątrz wewnętrznego cylindra jako neu0 i sub a podzielonym przez kwadrat 2pia razy r.
i, oczywiście, jest to identyczny wynik z przykładem, który zrobiliśmy wcześniej, aby uzyskać profil pola magnetycznego przewodzącego prąd cylindrycznego drutu.
teraz, jako drugi region rozważmy pole magnetyczne dla regionu, w którym nasz punkt zainteresowania znajduje się między dwoma cylindrami. Innymi słowy, r jest mniejsze niż B i większe niż a region.
jeśli spojrzymy na ten region, mówimy o tej części, a w tej części powiedzmy, że nasz punkt zainteresowania znajduje się gdzieś tutaj. Ponownie wybieramy zamkniętą pętlę. W tym przypadku nazwijmy to jako c2, które pokrywa się z linią pola magnetycznego przechodzącą przez punkt zainteresowania P. teraz znajduje się w tym regionie.
i dla tego regionu, to jest nasz zewnętrzny, Cylindryczny obszar powłoki, który przenosi prąd i sub b do płaszczyzny. Teraz, dla tego obszaru, ponownie, kiedy wybierzemy tę pętlę, która zbiega się z linią pola przechodzącą przez ten punkt, będzie ona spełniała warunki, aby zastosować prawo ampere’ a, a zatem lewa strona prawa ampere ’ a będzie identyczna z poprzednią częścią i da nam B nuta dl zintegrowana przez pętlę C2, która jest równa neu0 i zamknięta. Lewa strona da nam ponownie b razy 2pir. Oczywiście, teraz, odległość, małe r, to odległość od centrum do tego punktu dla tego regionu.
i po prawej stronie, w tym przypadku, teraz przyjrzymy się prądowi sieciowemu przechodzącemu przez obszar otoczony pętlą c2, innymi słowy, obszar otoczony pętlą C2, i to jest ten żółty zacieniony obszar, i kiedy spojrzymy na tę powierzchnię, widzimy, że cały prąd przepływający przez wewnętrzny cylinder przechodzi przez tę powierzchnię, i oczywiście wszystko poza tą powierzchnią jest interesujące, i dlatego, w tym przypadku, załączyłem będzie równy po prostu prądowi przepływającemu przez wewnętrzny cylinder, który jest i sub A. Zatem po prawej stronie będziemy mieli neu0 razy i sub A, A rozwiązując pole magnetyczne będziemy mieli neu0 i sub a przez 2piR dla tego regionu.
tak więc, jest to przypadek, że r jest pomiędzy b I a i dla poprzedniej części obliczyliśmy pole magnetyczne dla regionu takiego, że r jest mniejsze niż a.
teraz przejdźmy do przodu i obliczmy pole magnetyczne wewnątrz drugiej cylindrycznej powłoki. W tym przypadku mówimy o b w regionie, gdzie r jest między c i b.
innymi słowy, teraz interesuje nas obszar wewnętrzny tej drugiej cylindrycznej skorupy. Załóżmy, że w tym przypadku nasz punkt zainteresowania jest gdzieś tutaj.
teraz ponownie wybieramy naszą empiryczną pętlę tak, że pokrywa się ona z linią pola przechodzącą przez ten punkt, dlatego też będzie ona, ponownie, w formie okręgu, a jej promień, r, jest teraz mierzony od środka, wskazując to .
nazwijmy tę pętlę jako C3. Ponownie, obliczenia po lewej stronie będą podobne do poprzednich części. Pętla ta będzie spełniać warunki stosowania prawa Ampere ’ a. Wielkość pola magnetycznego będzie stała wszędzie wzdłuż tej pętli, a kąt między b i dl będzie równy 0.
więc prawo Ampere ’ a, które jest B kropką dl, całkowane przez pętlę C3 równą neu0 i zamkniętej w końcu da nam, Dla Lewej strony, tak samo jak powyżej, da nam d razy dpir, a po prawej stronie będziemy mieli neu0 razy i zamkniętej.
teraz mówimy o prądzie sieciowym przepływającym przez obszar otoczony pętlą C3. Jeśli spojrzymy na ten obszar, zobaczymy, że po pierwsze, mówimy o tym obszarze teraz tutaj, tym niebieskim zacienionym obszarze, w tym obszarze widzimy, że cały wewnętrzny cylinder lub prąd przepływający przez wewnętrzny cylinder będzie przechodził przez ten obszar, a dla drugiej cylindrycznej powłoki widzimy, że tylko ta część cylindra przyczyni się do pola magnetycznego, ponieważ prąd przepływający przez obszar, który jest naszą stroną tej konkretnej powierzchni, jest interesujący.
dlatego, ponieważ i sub a wypływa z płaszczyzny, a i sub B płynie do płaszczyzny, prąd netto będzie zasadniczo różnicą między tymi dwoma prądami. Więc możemy wyrazić i zamknięte jako i sub a, wybierzmy ten kierunek, nasz kierunek płaszczyzny jako dodatni, który porusza się poza płaszczyzną, który jest dodatni, a drugi jest ułamkiem prądu, który porusza się do płaszczyzny i aby wyrazić ten, musimy teraz wyrazić gęstość prądu związaną z zewnętrzną powłoką, która jest całkowitym prądem przepływającym przez tę powłokę, i to jest i sub B, podzielone przez całkowity obszar przekroju przewodnika, mówimy o zewnętrznej powłoce, a całkowity obszar przekroju tej zewnętrznej cylindrycznej powłoki jest obszarem tego dużego cylindrycznego płaszcza. cylinder minus powierzchnia tego małego cylindra.
innymi słowy, to będzie równe pic kwadrat minus PIB kwadrat, a ta część, to wyrażenie, będzie równa gęstości prądu zewnętrznego cylindra.
i ta gęstość razy obszar zainteresowania da nam prąd netto przepływający przez ten obszar. Innymi słowy, jeśli weźmiemy iloczyn gęstości prądu z tym niebieskim cieniowanym obszarem, powinienem powiedzieć, że obszar cieniowanego obszaru, to otrzymamy prąd netto płynący przez tę powierzchnię, a to jest w zasadzie pir kwadrat minus pib kwadrat.
ok. Możemy uprościć to wyrażenie, pisząc to tak, jak i jest równe i sub A minus i sub B przez pi nawias c kwadrat minus b kwadrat razy pi razy r kwadrat minus b kwadrat.
tutaj pis anuluje, a więc załączyłem, że będzie równa tej ilości. Wtedy b razy 2piR będzie równe neu0 razy i zamknięte i to jest i sub A minus r kwadrat minus B kwadrat, i sub B podzielone przez c kwadrat minus B kwadrat.
aby uzyskać pole magnetyczne, zostawiamy tę ilość po lewej stronie równania, dlatego b będzie równe neu0 przez 2piR razy i sub A minus i sub B razy R kwadrat minus B kwadrat, podzielony przez c kwadrat minus B równa się nawiasowi.
więc wewnątrz zewnętrznej cylindrycznej powłoki, wielkość pola magnetycznego będzie równa tej wielkości. Oczywiście, kierunek, kierunek netto pola magnetycznego, niezależnie od tego, czy jest to kierunek zgodny z ruchem wskazówek zegara, czy przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, zależy od wielkości tych prądów, i to jest dla regionu, w którym r znajduje się między c i b.
ostatni region to zewnętrzny region tego kabla koncentrycznego. Wracając do naszego diagramu, mówimy o tym, że nasz punkt zainteresowania znajduje się gdzieś tutaj, i znowu, wybierając pętlę empiryczną, która przechodzi przez punkt zainteresowania i pokrywa się z linią pola przechodzącą przez ten punkt, punkt p, A to jest odległość r od środka.
lewa strona prawa Ampere 'a, nazwijmy tę pętlę jako C4, prawo Ampere’ a w tym przypadku będzie B nuta dl zintegrowana przez pętlę c4, która będzie nazywana neu0 razy i zamknięta, a lewa strona, ponownie, będzie podobna do poprzednich części, co da nam b razy 2piR, i to będzie równe, dla i zamkniętego teraz, spójrzmy na nasz diagram, mówimy o prądzie sieciowym przechodzącym przez obszar otoczony teraz, cały obszar otoczony teraz, jest otoczona pętlą C4, o której mówimy w całym regionie, i możemy łatwo zauważyć, że cały prąd przechodzący przez kabel koncentryczny przechodzi przez ten punkt, przechodzi przez tę powierzchnię, czyli i sub a wychodzi z płaszczyzny, a i sub B wchodzi do płaszczyzny.
w wyniku tego, prąd netto przechodzący przez obszar otoczony empiryczną pętlą C4 będzie równy i sub A minus i sub B, ponieważ płyną w przeciwnych kierunkach, zatem po prawej stronie będziemy mieli neu0 razy i sub A minus i sub B, A rozwiązując pole magnetyczne, otrzymamy końcowe wyrażenie neu0 2piR razy i sub A minus i sub B.
i to jest pole magnetyczne generowane na zewnątrz tego kabla koncentrycznego. To jest dla regionu, który r jest większy od c.
ok. Cóż, jeśli i sub a jest równe i sub B, jeśli te dwa prądy, które są równe wielkości, ponieważ płyną w przeciwnych kierunkach, to i zamknięte będzie równe 0. Oznacza to, że pole magnetyczne poza kablem koncentrycznym będzie równe 0 dla obszaru r większego niż C.