powierzchnia zamknięta to powierzchnia zwarta i pozbawiona granic. Przykładami są przestrzenie takie jak kula, torus i butelka Kleina. Przykładami powierzchni nie zamkniętych są: otwarty dysk, który jest kulą z przebiciem; cylinder, który jest kulą z dwoma przebiciami; i pasek Möbiusa. Jak w przypadku każdego kolektora zamkniętego, powierzchnia osadzona w przestrzeni euklidesowej, która jest zamknięta w odniesieniu do dziedziczonej topologii euklidesowej, niekoniecznie jest powierzchnią zamkniętą; na przykład dysk osadzony w R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
która zawiera swoją granicę jest powierzchnią topologicznie zamkniętą, ale nie zamkniętą.
Klasyfikacja zamkniętychedytuj
twierdzenie klasyfikacji powierzchni zamkniętych stwierdza, że dowolna połączona powierzchnia zamknięta jest homeomorficzna z pewnym członkiem jednej z tych trzech rodzin:
- sfera,
- połączona suma g tori dla G ≥ 1,
- połączona suma K rzeczywistych płaszczyzn rzutowych dla k ≥ 1.
powierzchnie w pierwszych dwóch rodzinach są orientowane. Wygodnie jest połączyć obie rodziny, traktując sferę jako połączoną sumę 0 tori. Liczba g zaangażowanych tori nazywana jest rodzajem powierzchni. SFERA I torus mają charakterystykę Eulera odpowiednio 2 i 0, a na ogół charakterystyka Eulera połączonej sumy g tori wynosi 2-2G.
powierzchnie w trzeciej rodzinie są nieorientowalne. Charakterystyka Eulera dla rzeczywistej płaszczyzny rzutowej wynosi 1, a na ogół charakterystyka Eulera dla połączonej sumy k ich wynosi 2-k.
wynika z tego, że zamknięta powierzchnia jest wyznaczana, aż do homeomorfizmu, przez dwie informacje: jej charakterystykę Eulera i to, czy jest orientowalna, czy nie. Innymi słowy, charakterystyka Eulera i orientalność całkowicie klasyfikują powierzchnie zamknięte do homeomorfizmu.
powierzchnie zamknięte z wieloma połączonymi komponentami są klasyfikowane według klasy każdego z ich połączonych elementów, a zatem ogólnie przyjmuje się, że powierzchnia jest połączona.
struktura Monoiduedytuj
Odnosząc tę klasyfikację do sum zespolonych, powierzchnie zamknięte aż do homeomorfizmu tworzą komutacyjny monoid pod działaniem sumy zespolonej, podobnie jak w przypadku Rozmaitości o dowolnym stałym wymiarze. Tożsamość jest sferą, podczas gdy prawdziwa płaszczyzna rzutowa i torus generują ten monoid, z pojedynczą relacją P # P # P = P # T, która może być również zapisana P # K = P # T, ponieważ K = P # P. Zależność ta jest czasami znana jako twierdzenie Dycka po waltherze von Dyck, który udowodnił to w (Dyck 1888), a potrójna powierzchnia krzyżowa P # P # P jest zatem nazywana powierzchnią Dycka.
geometrycznie, connect-sum z torusem (#t) dodaje uchwyt z obydwoma końcami przymocowanymi do tej samej strony powierzchni, podczas gdy connect-sum z butelką Kleina (# K) dodaje uchwyt z dwoma końcami przymocowanymi do przeciwnych stron orientowanej powierzchni; w obecności płaszczyzny projekcyjnej (# p) powierzchnia nie jest orientowana(nie ma pojęcia boku), więc nie ma różnicy między przymocowaniem torusa a przymocowaniem butelki Kleina, co wyjaśnia zależność.
powierzchnie z granicą
powierzchnie Zwarte, ewentualnie z granicą, to po prostu powierzchnie zamknięte ze skończoną liczbą otworów (otwartych dysków, które zostały usunięte). Tak więc połączoną zwartą powierzchnię klasyfikuje się według liczby elementów granicznych i rodzaju odpowiadającej jej powierzchni zamkniętej-równoważnie przez liczbę elementów granicznych, orientowalność i charakterystykę Eulera. Rodzaj zwartej powierzchni definiuje się jako rodzaj odpowiadającej jej zamkniętej powierzchni.
klasyfikacja ta wynika niemal natychmiast z klasyfikacji powierzchni zamkniętych: usunięcie otwartego dysku z zamkniętej powierzchni daje zwartą powierzchnię z okręgiem dla elementu granicznego, a usunięcie otwartych dysków K daje zwartą powierzchnię z K okręgiem dla elementów granicznych. Dokładne położenie otworów nie ma znaczenia, ponieważ grupa homeomorfizmu działa K-przechodnio na dowolny połączony kolektor o wymiarze co najmniej 2.
odwrotnie, granica zwartej powierzchni jest zamkniętą 1-kolektorem, a zatem jest rozłącznym połączeniem skończonej liczby okręgów; wypełnienie tych okręgów dyskami (formalnie biorąc stożek) daje zamkniętą powierzchnię.
unikalna zwarta orientowana powierzchnia rodzaju g i z elementami granicznymi K jest często oznaczana Σ G, K, {\displaystyle \Sigma _{g, k},}
na przykład w badaniu grupy klas mapowania.
powierzchnie Riemanna
powierzchnia Riemanna to kompleks 1-kolektora. Na poziomie czysto topologicznym powierzchnia Riemanna jest więc również powierzchnią orientalną w rozumieniu tego artykułu. W rzeczywistości każda zwarta orientowana powierzchnia jest realizowana jako powierzchnia Riemanna. Tak więc zwarte powierzchnie Riemanna charakteryzują się topologicznie ich rodzajami: 0, 1, 2,…. Z drugiej strony Rodzaj nie charakteryzuje złożonej struktury. Na przykład istnieje niezliczona liczba nieizomorficznych zwartych powierzchni Riemanna 1 (krzywe eliptyczne).
powierzchnie Niemakontaktoweedit
powierzchnie Niemakontaktowe są trudniejsze do sklasyfikowania. Jako prosty przykład, nie zwartą powierzchnię można uzyskać przez przebicie (usunięcie skończonego zbioru punktów z) zamkniętego kolektora. Z drugiej strony, każdy otwarty podzbiór zwartej powierzchni jest sam w sobie powierzchnią nie zwartą; rozważmy na przykład dopełnienie zbioru Cantora w sferze, znanego również jako powierzchnia drzewa Cantora. Jednak nie każda Nie-zwarta powierzchnia jest podzbiorem zwartej powierzchni; dwa kanoniczne kontrwywiady to drabina Jakuba i potwór z Loch Ness, które są nie-zwartymi powierzchniami o nieskończonym rodzaju.
nie zwarta powierzchnia m ma niepustą przestrzeń końców E(M), która nieformalnie opisuje sposoby, w jakie powierzchnia „schodzi do nieskończoności”. Przestrzeń E (M) jest zawsze topologicznie równoważna domkniętej podprzestrzeni zbioru Cantora. M może mieć skończoną lub policzalnie nieskończoną liczbę NH uchwytów, jak również skończoną lub policzalnie nieskończoną liczbę np płaszczyzn rzutowych. Jeśli zarówno Nh, jak i Np są skończone, to te dwie liczby oraz Typ topologiczny przestrzeni końców klasyfikują powierzchnię M do równoważności topologicznej. Jeśli jedna lub obie liczby Nh i Np są nieskończone, to typ topologiczny M zależy nie tylko od tych dwóch liczb, ale także od tego, jak nieskończona(s) zbliży się do przestrzeni końców. Na ogół typ topologiczny M jest określony przez cztery podprzestrzenie E (M), które są punktami granicznymi nieskończenie wielu uchwytów i nieskończenie wielu płaszczyzn rzutowych, punktami granicznymi tylko uchwytów i punktami granicznymi żadnego z nich.
powierzchnie, które nie są nawet policzalneedytuj
jeśli usunie się z definicji powierzchni założenie policzalności drugiej, istnieją (koniecznie nie zwarte) powierzchnie topologiczne, które nie mają policzalnej bazy dla swojej topologii. Być może najprostszym przykładem jest iloczyn kartezjański długiej linii z przestrzenią liczb rzeczywistych.
inną powierzchnią, która nie ma policzalnej bazy dla swojej topologii, ale nie wymaga aksjomatu wyboru, aby udowodnić jej istnienie, jest kolektor Prüfera, który można opisać za pomocą prostych równań, które pokazują, że jest powierzchnią rzeczywisto-analityczną. Kolektor Prüfera może być uważany za górną połowę płaszczyzny wraz z dodatkowym „językiem” TX zwisającym z niej bezpośrednio pod punktem (x,0), dla każdego rzeczywistego x.
w 1925 roku Tibor Radó udowodnił, że wszystkie powierzchnie Riemanna (tj. jednowymiarowe kolektory złożone) są koniecznie policzalne (twierdzenie Radó). Natomiast jeśli w konstrukcji powierzchni Prüfera zastąpimy liczby rzeczywiste liczbami zespolonymi, otrzymamy dwuwymiarowy kolektor zespolony (który jest koniecznie 4-wymiarowym kolektorem rzeczywistym) bez policzalnej bazy.
ProofEdit
klasyfikacja powierzchni zamkniętych jest znana od lat sześćdziesiątych XIX wieku, a obecnie istnieje wiele dowodów.
dowody topologiczne i kombinatoryczne na ogół opierają się na trudnym wyniku, że każdy zwarty 2-kolektor jest homeomorficzny do prostego kompleksu, który jest interesujący sam w sobie. Najczęstszym dowodem klasyfikacji jest (Seifert & Threlfall 1934) błąd harv: no target: CITEREFSeifertThrelfall1934 (help), który przenosi każdą triangulowaną powierzchnię do standardowej formy. Uproszczony dowód, który unika standardowej formy, został odkryty przez Johna H. Conwaya około 1992 roku, który nazwał „dowodem zerowym” lub „dowodem ZIP” i został przedstawiony w (Francis & Weeks 1999).
dowodem geometrycznym, który daje silniejszy wynik geometryczny, jest twierdzenie o uniformizacji. Zostało to pierwotnie udowodnione tylko dla powierzchni Riemanna w 1880 i 1900 przez Felixa Kleina, Paula Koebe i Henri Poincaré.