jeśli #S# jest zbiorem obiektów z binarną operacją #@# (np. dodawaniem lub mnożeniem), to mówi się, że jest zamknięty pod #@# wtedy i tylko wtedy, gdy #A@B W S# dla wszystkich #a, b w s#.
czyli biorąc pod uwagę dowolne dwa elementy #a# i #b# z #S#, wyrażenie #a@b# daje kolejny element #s#.
więc na przykład zbiór parzystych liczb całkowitych #{ 0, 2, -2, 4, -4, 6, -6,… }# jest zamknięty zarówno pod dodawaniem, jak i mnożeniem, ponieważ jeśli dodasz lub pomnożysz dwie parzyste liczby całkowite, otrzymasz parzystą liczbę całkowitą.
na zasadzie kontrastu zbiór nieparzystych liczb całkowitych jest zamknięty pod mnożeniem, ale nie zamknięty pod dodawaniem.
to staje się o wiele bardziej interesujące, gdy wymagamy również zamknięcia w identity i inverse.
na przykład liczby wymierne #QQ# mają właściwości:
-
zamknięte pod dodawaniem # + # i mnożeniem #*#
-
zawiera tożsamość# 0 # dla dodawania i # 1# dla mnożenia.
-
zawierają addytywne odwrotności dla dowolnego elementu.
-
zawierają mnożnikowe odwrotności dla dowolnego niezerowego elementu.
-
różne inne właściwości, które sprowadzają się do dodawania i mnożenia działających normalnie (komutatywność, asocjatywność, dystrybutywność itp.).
mówi się, że liczby wymierne tworzą pole.
co się stanie, gdy dodamy #sqrt(2)# do zbioru liczb wymiernych?
przestaje być zamykany pod dodawaniem lub mnożeniem. Na przykład:
-
jeśli dodasz dowolną liczbę wymierną do #sqrt(2)#, otrzymasz kolejną irracjonalną liczbę.
-
jeśli pomnożysz dowolną liczbę irracjonalną (oprócz #0 #LUB# 1#) przez # sqrt(2)#, otrzymasz kolejną irracjonalną liczbę.
aby ponownie go zamknąć, musimy podać wszystkie numery formularza:
#a + bsqrt(2)#
gdzie # A, b W QQ #
wtedy znajdujemy:
#(a + bsqrt(2))+(c+dsqrt(2)) = (A+c)+(b + d)sqrt(2)#
#(a + bsqrt (2)) * (c+dsqrt (2)) = (AC+bd) + (ad+bc)sqrt(2)#
#(a + bsqrt (2))+((- A)+(- b)sqrt(2)) = 0#
#(a + bsqrt (2)) * ((a/(a^2-2B^2)) – (b/(a^2-2B^2))sqrt(2)) = 1#
ten trudny jest ostatni, który zasadniczo mówi nam, że liczby w postaci # a+bsqrt (2)# są zamknięte pod odwrotnością mnożnikową. Można powiedzieć, że liczby niezerowe w postaci #a+bsqrt(2)# są zamknięte pod dzieleniem.