co to jest symbol Christoffela?

oto najlepszy sposób myślenia o symbolach Christoffela, przynajmniej dla początkującego.

Załóżmy, że chcesz wiedzieć, czy / jak wektor zmienia się z jednego punktu do drugiego w Twoim podstawowym kolektorze, tj. czasoprzestrzeni. Innymi słowy, chcemy różnicować pole wektorowe. Istnieją dwa powody, dla których możesz zarejestrować zmianę w polu wektorowym w swoich obliczeniach:

1. sam wektor może być w rzeczywistości inny w jednym punkcie niż w drugim lub
2. wektor może być opisany za pomocą różnych wektorów bazowych w dwóch punktach. (Gdy zmienisz podstawę, zmienią się składniki rzeczy, które opisujesz.)

każda zmiana wykryta w wartości wektora z jednego punktu do drugiego może pochodzić z jednego lub obu tych źródeł.

ważne jest to, że oceniając, czy wektor (pole) zmienił się, gdy przechodzisz z jednego punktu do drugiego w czasoprzestrzeni, potrzebujesz czegoś w swojej matematyce, aby uwzględnić fakt, że twoja podstawa (tj. twój układ współrzędnych) zmieniła się po drodze, oprócz wszelkich zmian, które mogły wystąpić w samym wektorze.

zwykła pochodna cząstkowa tego nie robi. Zakłada tylko, że podstawa się nie zmienia. W najbardziej ogólnym przypadku jednak wektory bazowe ulegną zmianie. Aby to wyjaśnić, zastępujemy zwykłą pochodną cząstkową czymś, co nazywa się pochodną kowariantną. Częścią pochodnej kowariantnej, która śledzi zmiany wynikające ze zmiany podstawy, są symbole Christoffela. Kodują, jak bardzo zmieniają się wektory bazowe, gdy poruszamy się wzdłuż kierunku samych wektorów bazowych.

Jak to jest przydatne w ogólnej teorii względności? To dlatego, że GR modeluje grawitację jako krzywiznę czasoprzestrzeni, a informacje o tej krzywiźnie są zakodowane w symbolach Christoffela.

ale jeśli symbole Christoffela są zależne od bazy (i właśnie powiedzieliśmy , że są-różne układy współrzędnych / wektory bazy dadzą różne wartości dla symboli Christoffela), jak mogą one dać informacje o krzywiźnie kolektora bazowego, który powinien być niezależny od układu współrzędnych?

Symbole Christoffela nie dają krzywizny bezpośrednio. Z tego, co powiedzieliśmy do tej pory, jest jasne, że aby Symbole Christoffela były równe zero, wektory bazowe nie mogą się zmieniać w miarę przechodzenia od punktu do punktu. Oznacza to, że nie będziemy wprowadzać żadnych fałszywych zmian do naszych pól wektorowych, nie uwzględniając zmiany bazy.

dwie rzeczy Ważne do rozpoznania:

1. niezerowe Symbole Christoffela nie oznaczają, że kolektor ma krzywiznę. Wszystko to oznacza, że używasz podstawowego pola wektorowego, które zmienia długość i / lub kierunek z punktu do punktu. Częstym przykładem są współrzędne biegunowe na płaszczyźnie. Te wektory bazowe zmieniają się z punktu na punkt, np. wektor bazowy w kierunku theta staje się dłuższy im dalej od początku w kierunku radialnym. Oznacza to, że będziesz miał przynajmniej kilka niezerowych symboli Christoffela. Ale wyraźnie przestrzeń nie jest zakrzywiona.

   1. Znikające symbole Christoffela nie oznaczają, że przestrzeń nie ma krzywizny. To może oznaczać, że podróżujesz po trajektorii znanej jako Geodezja. (Jest to uogólnienie linii prostych przez zwykłą płaską przestrzeń będącą ” najkrótszą odległością między dwoma punktami.”) Fizycznym odpowiednikiem tego jest swobodny spadek.

ponieważ symbole Christoffela pozwalają nam zdefiniować pochodną kowariantną (tj. pochodna uwzględniająca zmianę wektorów bazowych), pozwala zdefiniować „transport równoległy” wektora. Symbol Christoffela mówi nam, co to znaczy powiedzieć, że wektor jest przesunięty z jednego punktu do drugiego w taki sposób, że pozostaje „równoległy do siebie”. „Równoległa do siebie” oznacza po prostu „kowariantna pochodna znika”.

definicja krzywizny (przynajmniej jednej z nich) zależy od tego równoległego procesu transportu, który jest możliwy dzięki pochodnej kowariantnej, co z kolei jest możliwe dzięki symbolom Christoffela.

podstawową ideą jest to, że jeśli równolegle przenosimy wektor przez pętlę (tj. wracając do naszego punktu początkowego), niekoniecznie kończymy z tym samym wektorem, od którego zaczęliśmy. Jest to prawdą, mimo że przenosiliśmy wektor w sposób 'samo-równoległy’. Kluczowym faktem dla krzywizny jest nie tylko to, że kończymy z innym wektorem niż zaczęliśmy (może się to zdarzyć w przypadku zerowej krzywizny), ale to, który dokładnie wektor skończymy, zależy od ścieżki, którą obraliśmy. Więc jeśli przenosimy wektor 'równoległy do siebie’ wzdłuż ścieżek a i b, otrzymujemy dwa różne wektory 'równoległe’ do tego, od którego zaczęliśmy. Jeśli tak się stanie, to z definicji Twoja przestrzeń jest zakrzywiona.

podsumowując, różnicę między przestrzenią płaską a przestrzenią zakrzywioną można umieścić w następujący sposób: w przestrzeni płaskiej można zbudować układ współrzędnych, w którym symbole Christoffela znikają wszędzie, tzn. gdzie wektory bazowe są takie same w każdym punkcie. W zakrzywionej przestrzeni jest to niemożliwe. Nie możesz sprawić, że wszystkie symbole Christoffela znikną w zakrzywionej przestrzeni, po prostu dlatego, że gdybyś mógł, nie byłby zakrzywiony. Byłoby płasko!

Co to wszystko ma wspólnego z fizyką? Cóż, możesz myśleć o grawitacji jako wynikającej z krzywizny czasoprzestrzeni, używając analogii z gumowych arkuszy itp. Ale uważam, że bardziej pomocne jest myślenie o grawitacji jako o konieczności skorygowania tego, jak podstawowa czasoprzestrzeń zmusza nas do używania różnych wektorów bazowych w różnych punktach. W teorii względności fizycznym odpowiednikiem „zmiany podstawy” jest zmiana stanu ruchu. Tak jak terminy wynikające wyłącznie ze zmian podstawy nie odzwierciedlają faktycznych faktów o wektorach – tylko artefakty tego, jak wybieramy opisywanie wektorów – terminy wynikające ze zmian stanu ruchu nie odzwierciedlają rzeczywistych faktów fizycznych.

to jest serce rozszerzenia przez Einsteina rewolucyjnej idei względności Galileusza – że prawa fizyki są tym, czym są, niezależnie od stanu ruchu. Wszystko, co zależy od Twojego stanu ruchu, nie jest faktem, ale artefaktem i powinno być odrzucone jako takie. To doprowadziło Einsteina (i innych) do przekonania, że prawdziwymi prawami wszechświata powinny być te, które są prawdziwe niezależnie od układu współrzędnych/stanu ruchu. Symbole Christoffela mogą być postrzegane jako terminy w równaniach, które sprawiają, że są one prawdziwe dla wszystkich stanów ruchu.

więc w pewnym sensie możemy powiedzieć, że istnienie grawitacji wynika i implikuje, że prawa fizyki są takie same bez względu na to, jak się poruszasz, w tym sensie, że gdyby grawitacja nie działała tak, jak działa, to różni obserwatorzy formułowaliby różne prawa w zależności od ich parafialnych perspektyw (i odwrotnie).