Abstract
Clebsch—Gordan koeffisienter der de tre vinkel momenta, j 1, j 2, og j = j 3, er omordnet kan være ganske enkelt relatert til hverandre. Det mest trivielle tilfellet innebærer utveksling av rekkefølgen av kvante tallene, j 1 m 1 og j 2 m 2. Statsvektoren ❘ j 1, j 2 j 2 m 2〉 er et direkte produkt av to vektorer som involverer separate underrom i Hele Hilbert-rommet, eller når det gjelder koordinatrepresentasjonen, er bølgefunksjonen et produkt av funksjoner som involverer forskjellige variabler. For eksempel kan det v re en funksjon av orbitale variabler og kan v re en funksjon av spinnvariabler. Dermed bør produktet av disse to funksjonene ikke avhenge av rekkefølgen der vi skriver de to funksjonene. Derfor, når vi utvider denne produktfunksjonen i terras av de totale vinkelmoment egenfunksjonene, må resultatet være uavhengig av rekkefølgen der vi skriver den opprinnelige produktfunksjonen, eller, med mulig unntak av en over-all fasefaktor. Denne fasefaktoren kommer inn fordi vår fasekonvensjon som fastsetter det samlede tegn På Clebsch-Gordan-koeffisientene, gir preferanse til vinkelmomentet som sitter i nummer 1 og nummer 3 posisjoner Av Clebsch—Gordan-koeffisienten. 〈J 1 j 1 j 2 m 2❘j 3 j 3〉 må derfor være positive i forhold til vår fase-konvensjon. Tilsvarende må 〈j 2 j 2 j 1 m 1❘j 3 j 3〉 også være positiv. Tvert imot har clebsch-Gordan-koeffisienten 〈j 1 m 1 j 2 j 2❘j 3 j 3〉 tegnet med m 1 = j 3-j 2 derfor er tegnet.