Sirkulære baner

den detaljerte oppførselen til virkelige baner er opptatt av himmellegemekanikk (se artikkelen himmellegemekanikk). Denne delen behandler bare den idealiserte, ensartede sirkulære bane av en planet som Jorden om en sentral kropp som Solen. Faktisk Er Jordens bane om Solen ikke helt nøyaktig jevnt sirkulær, men det er en nær nok tilnærming til denne diskusjonen.

et legeme i uniform sirkulær bevegelse gjennomgår til enhver tid en sentripetal akselerasjon gitt ved ligning (40). Ifølge Newtons andre lov er det nødvendig med en kraft for å produsere denne akselerasjonen. I tilfelle av en bane planet er kraften tyngdekraften. Situasjonen er illustrert i Figur 9. Solens gravitasjonsattraksjon er en indre (sentripetal) kraft som virker på Jorden. Denne kraften produserer sentripetal akselerasjon av orbitalbevegelsen.

før disse ideene uttrykkes kvantitativt, er det nyttig å forstå hvorfor en kraft er nødvendig for å opprettholde en kropp i en bane med konstant fart. Årsaken er at planetens hastighet på hvert øyeblikk er tangent til bane. I fravær av tyngdekraften ville planeten adlyde treghetsloven (Newtons første lov) og fly av i en rett linje i retning av hastigheten med konstant hastighet. Tyngdekraften tjener til å overvinne treghetstendensen til planeten, og dermed holde den i bane.

gravitasjonskraften mellom to legemer som Solen og Jorden er gitt av

HVOR MS og ME er massene Til Solen og Jorden, henholdsvis, er r avstanden mellom deres sentre, Og G er en universell konstant lik 6.674 × 10-11 Nm2 / kg2(Newton meter kvadrat per kilo kvadrat). Kraften virker langs retningen som forbinder de to legemene (dvs. langs radiusvektoren til den ensartede sirkulære bevegelsen), og minustegnet betyr at kraften er attraktiv, som virker for å trekke Jorden mot Solen.

for en observatør på jordens overflate ser planeten ut til å være i ro på (omtrent) en konstant avstand fra Solen. Det ser derfor ut til observatøren at enhver kraft (Som Solens tyngdekraft) som virker på Jorden, må balanseres av en lik og motsatt kraft som holder Jorden i likevekt. Med andre ord, hvis tyngdekraften prøver Å trekke Jorden inn I Solen, må noen motstridende kraft være tilstede for å forhindre at det skjer. I virkeligheten eksisterer ingen slik kraft. Jorden er i fritt akselerert bevegelse forårsaket av en ubalansert kraft. Den tilsynelatende kraften, kjent i mekanikk som en pseudoforce, skyldes det faktum at observatøren faktisk er i akselerert bevegelse. I tilfelle av orbital bevegelse kalles den ytre pseudoforce som balanserer tyngdekraften sentrifugalkraften.

for en jevn sirkulær bane produserer tyngdekraften en innadgående akselerasjon gitt ved ligning (40), a = −v2/r. pseudoforce f som trengs for å balansere denne akselerasjonen, er bare lik Massen Av Jordtider en lik og motsatt akselerasjon, eller f = MEv2/r. den jordbundne observatøren mener da at det ikke er noen netto kraft som virker på planeten—dvs., det F + f = 0, Hvor F Er tyngdekraften gitt ved ligning (41). Kombinere disse ligningene gir et forhold mellom hastigheten v av en planet og dens avstand r fra Solen:

Det skal bemerkes at hastigheten ikke er avhengig av planetens masse. Dette skjer av nøyaktig samme grunn at alle legemer faller mot Jorden med samme akselerasjon, og at perioden til en pendel er uavhengig av dens masse. En bane planet er faktisk en fritt fallende kropp.

Ligning (42) er et spesielt tilfelle (for sirkulære baner) Av Keplers tredje lov, som diskuteres i artikkelen celestial mechanics. Ved å bruke det faktum at v = 2nr / T, hvor 2nr er baneomkretsen og T er tiden for å lage en fullstendig bane (dvs. T er ett år i planetens liv), er det lett å vise At T2 = (4π 2/GMS) r3. Dette forholdet kan også brukes på satellitter i sirkulær bane rundt Jorden (i SÅ fall må ME erstattes AV MS) eller i bane rundt et annet sentralt legeme.