Overflate (topologi))

en lukket overflate er en overflate som er kompakt og uten grense. Eksempler er mellomrom som sfæren, torus og klein-flasken. Eksempler på ikke-lukkede overflater er: en åpen disk, som er en kule med punktering; en sylinder, som er en sfære med to punkteringer; Og mö stripen. Som med enhver lukket manifold er en overflate innebygd I Euklidisk rom som er lukket med hensyn til den arvelige Euklidiske topologien ikke nødvendigvis en lukket overflate; for eksempel er en disk innebygd I r 3 {\displaystyle \ mathbb {R} ^{3}}

som inneholder grensen er en overflate som er topologisk lukket, men ikke en lukket overflate.

Klassifisering av lukkede overflaterrediger

Noen eksempler på orienterbare lukkede flater (venstre) og overflater med grense (høyre). Venstre: noen orienterbare lukkede overflater er overflaten av en kule, overflaten av en torus og overflaten av en terning. (Kuben og kulen er topologisk ekvivalente med hverandre.) Høyre: Noen overflater med grense er diskoverflaten, firkantet overflate og halvkule overflate. Grensene er vist i rødt. Alle tre av disse er topologisk ekvivalente med hverandre.

klassifikasjonsteoremet for lukkede flater sier at enhver tilkoblet lukket overflate er homeomorphic til noen medlem av en av disse tre familiene:

1. sfæren,
2. den tilkoblede summen av g tori for g ≥ 1,
3. den tilkoblede summen av k ekte projektive fly for k ≥ 1.

overflatene i de to første familiene er orienterbare. Det er praktisk å kombinere de to familiene ved å betrakte sfæren som den tilkoblede summen av 0 tori. Antallet g av tori involvert kalles slekten av overflaten. Sfæren og torusen har henholdsvis euler-egenskaper 2 og 0, og generelt er euler-karakteristikken for den tilkoblede summen av g tori 2 − 2g.

overflatene i den tredje familien er ikke-orienterbare. Eulerkarakteristikken for det virkelige projektive planet er 1, og Generelt er eulerkarakteristikken for den tilkoblede summen av k av dem 2-k.

det følger at en lukket overflate bestemmes, opp til homeomorfisme, av to opplysninger: Dens Euler-karakteristikk, og om den er orienterbar eller ikke. Med Andre ord klassifiserer euler karakteristisk og orienterbarhet helt lukkede overflater opp til homeomorfisme.

Lukkede flater med flere tilkoblede komponenter klassifiseres etter klassen av hver av deres tilkoblede komponenter, og dermed antar man generelt at overflaten er tilkoblet.

Monoidstrukturrediger

De lukkede overflatene opp til homeomorfisme danner en kommutativ monoid under driften av tilkoblet sum, som faktisk gjør manifolder av en hvilken som helst fast dimensjon. Identiteten er sfæren, mens det virkelige projektive planet og torusen genererer denne monoiden, med et enkelt forhold P # P # P = P # T, som også kan skrives P # K = P # T, siden K = P # P. Dette forholdet er noen ganger kjent som Dycks teorem Etter Walther von Dyck, som beviste Det I (Dyck 1888), og trippelkorsflaten P # P # P kalles Derfor Dycks overflate.

Geometrisk legger connect-sum med en torus (# T) et håndtak med begge ender festet til samme side av overflaten, mens connect-sum med En klein flaske (# K) legger til et håndtak med de to ender festet til motsatte sider av en orienterbar overflate; i nærvær av et projektivt plan (#P) er overflaten ikke orienterbar (det er ingen oppfatning av side), så det er ingen forskjell mellom å feste en torus og feste En klein-flaske, noe som forklarer forholdet.

overflater med grense [rediger / rediger kilde]

Kompakte overflater, muligens med grense, er ganske enkelt lukkede overflater med et begrenset antall hull (åpne skiver som er fjernet). Således klassifiseres en tilkoblet kompakt overflate etter antall grensekomponenter og slekten til den tilsvarende lukkede overflaten – ekvivalent, av antall grensekomponenter, orienterbarheten og euler-karakteristikken. Slekten til en kompakt overflate er definert som slekten til den tilsvarende lukkede overflaten.

denne klassifiseringen følger nesten umiddelbart fra klassifiseringen av lukkede flater: fjerning av en åpen plate fra en lukket overflate gir en kompakt overflate med en sirkel for grensekomponent, og fjerning av k åpne plater gir en kompakt overflate med k disjunkte sirkler for grensekomponenter. De nøyaktige plasseringene av hullene er irrelevante, fordi homeomorphism-gruppen virker k-transitivt på en hvilken som helst tilkoblet manifold av dimensjon minst 2.

Omvendt er grensen til en kompakt overflate en lukket 1-manifold, og er derfor den disjoint union av et begrenset antall sirkler; fylling av disse kretsene med disker (formelt tar kjeglen) gir en lukket overflate.

den unike kompakte orienterbare overflaten av slekten g og med k-grensekomponenter er ofte betegnet Σ g, k, {\displaystyle \ Sigma _{g, k},}

for eksempel i studien av kartleggingsklassegruppen.

Riemann surfacesEdit

En Riemann-overflate er en kompleks 1-manifold. På et rent topologisk nivå er En Riemann-overflate derfor også en orienterbar overflate i betydningen av denne artikkelen. Faktisk er hver kompakt orienterbar overflate realiserbar Som En Riemann-overflate. Dermed er kompakte Riemann-overflater preget topologisk av deres slekt: 0, 1, 2,…. På den annen side karakteriserer slekten ikke den komplekse strukturen. For eksempel er det utallige ikke-isomorfe kompakte Riemannoverflater av slekt 1 (elliptiske kurver).

ikke-kompakte overflaterrediger

ikke-kompakte overflater er vanskeligere å klassifisere. Som et enkelt eksempel kan en ikke-kompakt overflate oppnås ved å punktere (fjerne et endelig sett med punkter fra) en lukket manifold. På den annen side er enhver åpen delmengde av en kompakt overflate i seg selv en ikke-kompakt overflate; tenk for eksempel komplementet til En Kantor sett i sfæren, ellers kjent som Kantortreflaten. Imidlertid er ikke alle ikke-kompakte overflater en delmengde av en kompakt overflate; to kanoniske moteksempler er Jacob ‘ s ladder og Loch Ness monster, som er ikke-kompakte overflater med uendelig slekt.

en ikke-kompakt overflate M har et ikke-tomt rom på endene E (M), som uformelt beskriver måtene overflaten «går av til uendelig». Plassen E (M) er alltid topologisk ekvivalent med et lukket underrom av Cantor-settet. M kan ha et endelig eller tellbart uendelig Antall Nh av håndtak, samt et endelig eller tellbart uendelig antall Np av projektive fly. Hvis Både Nh og Np er endelige, klassifiserer disse to tallene, og den topologiske typen plass av ender, overflaten M opp til topologisk ekvivalens. Hvis En Eller begge Av Nh og Np er uendelig, avhenger den topologiske typen M ikke bare av disse to tallene, men også av hvordan den uendelige en (e) nærmer seg endens plass. Generelt er den topologiske typen av M bestemt av De fire underrommene Av E (M) som er grensepunkter for uendelig mange håndtak og uendelig mange projektive fly, grensepunkter for bare håndtak og grensepunkter for ingen av delene.

Overflater som ikke engang er andretellenderediger

hvis man fjerner antagelsen om andretellbarhet fra definisjonen av en overflate, finnes det (nødvendigvis ikke-kompakte) topologiske overflater som ikke har noen tellbar base for deres topologi. Kanskje det enkleste eksempelet Er Det Kartesiske produktet av den lange linjen med plass til reelle tall.

En annen overflate som ikke har noen tellbar base for sin topologi, men som ikke krever Det Valgte Aksiomet for å bevise dets eksistens, Er Prü manifolden, Som kan beskrives ved enkle ligninger som viser at den er en realanalytisk overflate. Prü-manifolden kan betraktes som det øvre halvplanet sammen med en ekstra» tunge » Tx som henger ned fra den rett under punktet (x,0), for hver ekte x.

I 1925 viste Tibor Radó at Alle Riemann-overflater (dvs.endimensjonale komplekse manifolder) nødvendigvis er andre tellbare (Radó teorem). Derimot, hvis man erstatter de reelle tallene i konstruksjonen Av Prü-overflaten med de komplekse tallene, får man et todimensjonalt komplekst manifold (som nødvendigvis er en 4-dimensjonal ekte manifold) uten tellbar base.

ProofEdit

klassifiseringen av lukkede flater har vært kjent siden 1860-tallet, og i dag finnes det en rekke bevis.

Topologiske og kombinatoriske bevis er generelt avhengige av det vanskelige resultatet at hver kompakt 2-manifold er homeomorphic til et enkelt kompleks, som er av interesse i seg selv. Det vanligste beviset på klassifiseringen Er (Seifert & Threlfall 1934) harv feil: ingen mål: CITEREFSeifertThrelfall1934 (help), som bringer hver triangulert overflate til en standardform. Et forenklet bevis, som unngår en standardform, ble oppdaget Av John H. Conway circa 1992, som han kalte » Zero Irrelevancy Proof «eller» ZIP proof » og presenteres i (Francis & Uker 1999).

et geometrisk bevis, som gir et sterkere geometrisk resultat, er uniformisasjonsteoremet. Dette ble først påvist For Riemanns overflater på 1880-og 1900-tallet av Felix Klein, Paul Koebe og Henri Poincaré.