Hva er En Christoffel symbol?

her er den beste måten Å tenke På christoffel-symbolene, i hvert fall for en nybegynner.

Anta at du vil vite om / hvordan en vektor endres fra ett punkt til et annet i din underliggende manifold, dvs.tidsrom. Med andre ord vil du skille mellom vektorfeltet ditt. Det er to grunner til at du kan registrere en endring i vektorfeltet i beregningene dine:

1. vektoren selv kan faktisk være forskjellig på ett punkt enn på den andre ELLER
2. vektoren kan beskrives ved hjelp av forskjellige basisvektorer på de to punktene. (Når du endrer et grunnlag, vil komponentene i tingene du beskriver, endres.)

enhver endring du oppdager i vektorens verdi fra ett punkt til et annet, kan være fra en eller begge disse kildene.

det viktige poenget er at når du vurderer om en vektor (felt) har endret seg når du går fra ett punkt til et annet i tidsrom, trenger du noe i matematikken din for å redegjøre for at grunnlaget ditt (dvs.koordinatsystemet) har endret seg underveis, i tillegg til eventuelle endringer som kan ha skjedd for selve vektoren selv.

det vanlige partielle derivatet gjør ikke dette. Det forutsetter bare at grunnlaget ikke endres. I det mest generelle tilfellet vil imidlertid basisvektorene endres. For å redegjøre for dette, erstatter vi det vanlige partielle derivatet med det som kalles kovariantderivatet. Den delen av kovariant derivat som holder styr på endringer som følge av endring av basis er Christoffel symboler. De koder for hvor mye basisvektorene endres når vi beveger oss langs retningen til basisvektorene selv.

hvordan er dette nyttig I Generell Relativitet? DET er fordi GR modeller tyngdekraften som krumningen av spacetime manifold, og informasjon om denne krumningen er kodet I Christoffel symboler.

men hvis Christoffel-symbolene er basisavhengige (og vi har nettopp sagt at de er – forskjellige koordinatsystemer / basisvektorer vil gi deg forskjellige verdier for christoffel-symbolene), hvordan kan de gi informasjon om krumningen til den underliggende manifolden, som skal være uavhengig av koordinatsystemet?

Christoffelsymbolene gir ikke krumningen direkte. Fra det vi har sagt så langt, er det klart at For Christoffel-symbolene å være null identisk, må basisvektorene ikke endres når vi går fra punkt til punkt. Dette betyr at vi ikke vil introdusere noen falske endringer i vektorfeltene våre ved ikke å regne med endring av grunnlag.

To ting som er viktige å gjenkjenne:

1. Ikke-null Christoffel symboler betyr ikke at manifolden har krumning. Alt det betyr er at du bruker et basisvektorfelt som endrer lengde og / eller retning fra punkt til punkt. Et vanlig eksempel er polarkoordinater på flyet. Basisvektoren i theta-retningen blir lengre jo lenger du kommer fra opprinnelsen i radialretningen. Dette betyr at du vil ha minst noen Ikke-null Christoffel symboler. Men klart er plassen ikke buet.

   1. Forsvinnende Christoffelsymboler betyr ikke at rommet ikke har noen krumning. Det kan bety at du reiser langs en bane kjent som en geodesisk. (Dette er generaliseringen av rette linjer gjennom vanlig flat plass som ‘ den korteste avstanden mellom to punkter.’) Den fysiske motparten av dette er fritt fall.

Siden Christoffel-symbolene lar oss definere et kovariantderivat (dvs. et derivat som tar hensyn til hvordan basisvektorer endres), tillater det oss å definere ‘parallell transport’ av en vektor. Dvs. christoffel-symbolet forteller oss hva det betyr å si at en vektor flyttes fra ett punkt til et annet på en måte at den forblir parallell med seg selv. ‘Parallell til seg selv’ betyr bare ‘kovariant derivat forsvinner’.

definisjonen av krumning (en av dem, i det minste) avhenger av denne parallelle transportprosessen, som er muliggjort av kovariantderivatet, som igjen er muliggjort av christoffelsymbolene.

den grunnleggende ideen er at hvis vi parallelt transporterer en vektor over en sløyfe (dvs. kommer tilbake til utgangspunktet), slutter vi ikke nødvendigvis med den samme vektoren vi startet med. Dette gjelder selv om vi transporterte vektoren på en ‘selvparallell’ måte. Det avgjørende faktum for krumning er ikke bare at vi ender med en annen vektor enn vi startet med (det kan skje ved nullkrumning), men det som nøyaktig hvilken vektor vi ender med, avhenger av banen vi tok. Så hvis du transporterer en vektor ‘parallell til seg selv’ langs stier a og b, ender du med to forskjellige vektorer ‘parallell’ til den du startet med. Hvis det skjer, så per definisjon din plass er buet.

i sammendraget kan forskjellen mellom et flatt rom og et buet rom settes slik: i et flatt rom er det mulig å bygge et koordinatsystem hvor christoffelsymbolene forsvinner overalt, dvs. hvor basisvektorene er de samme på hvert punkt. I et buet rom er dette umulig. Du kan ikke gjøre Alle Christoffel symboler forsvinner i en buet plass, rett og slett fordi hvis du kunne, det bare ikke ville være buet. Det ville vært flatt!

Hva har alt dette å gjøre med fysikk? Vel, du kan tenke på tyngdekraften som følge av krumning av tidsrom, ved hjelp av gummiarkanalogier, etc. Men jeg finner det mer nyttig å tenke på tyngdekraften som bare oppstår fra dette behovet for å korrigere for hvordan den underliggende romtiden tvinger oss til å bruke forskjellige basisvektorer på forskjellige punkter. I relativitetsteorien er den fysiske motparten av ‘endring av basis’ endring av bevegelsestilstand. Akkurat som vilkår som oppstår utelukkende fra endringer i grunnlag ikke gjenspeiler faktiske fakta om vektorer – bare gjenstander av hvordan vi velger å beskrive vektorer-vilkår som oppstår fra endringer i bevegelsestilstand, gjenspeiler ikke virkelige fysiske fakta.

Dette er hjertet I Einsteins utvidelse Av Galileos revolusjonerende ide om relativitet – at fysikkens lover er hva de er, uavhengig av bevegelsestilstanden din. Alt som avhenger av din tilstand av bevegelse er ikke et faktum, men en gjenstand og bør avvises som sådan. Dette førte Einstein (og andre) til ideen om at universets sanne lover skulle være de som holder sant uavhengig av koordinatsystem/bevegelsestilstand. Christoffel-symbolene kan ses som termer i ligningene som gjør det slik at de holder sant for alle bevegelsesstater.

så på en måte kan vi si at eksistensen av tyngdekraften både følger av og innebærer at fysikkens lover er de samme uansett hvordan du beveger deg, i den forstand at hvis tyngdekraften ikke fungerte slik den gjør, ville forskjellige observatører formulere forskjellige lover avhengig av deres parokiale perspektiver (og omvendt).