Hvis #S# Er et sett med objekter med en binær operasjon #@# (f. eks. addisjon eller multiplikasjon), sies det å være lukket under #@# hvis og bare hvis # a @ b i S # for alle # a, b I S#.
det vil si, gitt noen to elementer # a # og # b # av # S#, gir uttrykket# a@b # deg et annet element av # S#.
så for eksempel settet av like heltall #{ 0, 2, -2, 4, -4, 6, -6,… } # er lukket under både addisjon og multiplikasjon, siden hvis du legger til eller multipliserer to like heltall, får du et jevnt heltall.
som kontrast er settet av odde heltall lukket under multiplikasjon, men ikke lukket under tillegg.
Dette blir mye mer interessant når vi også krever lukning under identitet og invers.
for eksempel har de rasjonale tallene # QQ # egenskapene:
-
Lukket under addisjon # + # og multiplikasjon #*#
-
Inneholder en identitet # 0 # for addisjon og # 1 # for multiplikasjon.
-
Inneholder additiv inverser for ethvert element.
-
Inneholder multiplikative inverser for ethvert element som ikke er null.
-
Ulike andre egenskaper som koker ned til tillegg og multiplikasjon fungerer som normalt(commutativity, associativity, distributivity, etc).
de rasjonale tallene sies å danne et felt.
hva skjer når vi legger til # sqrt (2)# til settet med rasjonale tall?
den slutter å lukkes under tillegg eller multiplikasjon. Eksempelvis:
-
hvis du legger til et rasjonelt tall til # sqrt (2)#, får du et annet irrasjonelt tall.
-
hvis du multipliserer et irrasjonelt tall (bortsett fra #0# eller #1#) med # sqrt (2)#, får du et annet irrasjonelt tall.
for å gjøre det lukket igjen, må vi inkludere alle tallene i skjemaet:
#a + bsqrt(2)#
hvor # a, b I QQ#
så finner vi:
#(a + bsqrt (2)) + (c+dsqrt(2)) = (a + c)+(b + d)sqrt(2)#
#(a + bsqrt (2)) * (c + dsqrt (2)) = (ac + bd)+(ad + bc)sqrt(2)#
#(a + bsqrt (2))+((- a) + (- b)sqrt(2)) = 0#
#(a + bsqrt(2)) * ((a / (a^2-2b^2)) – (b / (a^2-2b^2)) sqrt(2)) = 1#
den vanskelige er den siste, som i utgangspunktet forteller oss at tallene i skjemaet #a + bsqrt (2) # er stengt under multiplikativ invers. Du kan si at ikke-null tall i skjemaet # a + bsqrt (2)# er stengt under divisjon.