Fra Office Of Academic Technologies på Vimeo.
Eksempel-Magnetfelt av en koaksialkabel
la Oss nå beregne magnetfeltene til en koaksialkabel i forskjellige regioner.
b felt av en koaksialkabel. En koaksialkabel består av to konsentriske sylindriske områder, en indre kjerne, et ytre sylindrisk skall, noe som dette. Disse ledende sylindriske områdene er adskilt av et isolerende medium fra hverandre, og som en av disse sylindrene bærer strømmen i en retning, det kalles strømmen som strømmer den indre kjerne som i sub a.
hvis vi gir noen dimensjoner til denne kabelen, la oss si at denne radiusen er a, den indre radiusen til det ytre sylindriske skallet er b, og ytre radius av det andre sylindriske skallet er c.
derfor strømmer strømmen gjennom disse sylinderene i motsatt retning, og vi vil gjerne bestemme magnetfeltet til en slik kabel i forskjellige regioner. La oss starte med regionen slik at vårt interessepunkt, avstand til sentrum, er mindre enn radiusen a. Med andre ord, innsiden av den indre sylinderen.
og la oss se på denne saken fra toppvisningen, og så har vi, la oss si, den indre sylinderen fra tverrsnittssynspunkt, og det ytre sylindriske skallet, noe som dette, og den indre sylinderen bærer strømmen i sub a ut av flyet, og den ytre sylinderen bærer strømmen i sub b inn i flyet, overalt i disse regionene.
igjen er den indre sylinderens radius a, og denne radiusen er b og radiusen til den ytre regionen er c. Vel, vi har gjort et veldig lignende eksempel tidligere. Vår første region av interesse er at vårt punkt a er inne i den indre sylinderen. La oss si et sted rundt her, og for å finne magnetfeltet på dette stedet, som er lite r avstand fra sentrum, plasserer vi en empirisk sløyfe i form av en sirkel som sammenfaller med magnetfeltlinjen som går gjennom det punktet, og la oss kalle denne sløyfen som c1 for den første regionen.
og empire/s lov sier At B av dl integrert over denne sløyfen, c1, vil være lik neu 0 ganger nettstrømmen som passerer gjennom regionen, eller overflaten, omgitt av denne sløyfen c1.
som vi gjorde i de tidligere eksemplene, vil en slik sløyfe tilfredsstille betingelsene for å anvende imperiets lov, og magnetfeltet vil være tangent til feltlinjen, og den feltlinjen sammenfaller med sløyfen vi velger og dl er et inkrementelt forskyvningselement langs denne sløyfen, derfor vil vinkelen mellom b og dl alltid være 0 grader for denne saken.
så vil venstre side gi oss b-størrelse, dl-størrelse ganger cosin av 0, integrert over sløyfe c1, vil være lik neu 0 ganger jeg vedlagt.
Cosin av 0 er 1 og b er konstant over denne sløyfen fordi sløyfen faller sammen med magnetfeltlinjen som går gjennom det punktet, og så lenge vi er på den feltlinjen vil vi se samme magnetfeltstørrelse. Derfor, siden størrelsen er konstant, kan vi ta den utenfor integralet, derfor er venstre side vi ender med b ganger integral av dl over loop c1 lik neu 0 ganger jeg vedlagt.
Integral av c1, integral av dl, over loop c1 vil gi oss lengden på den sløyfen, som er omkretsen av den sirkelen, og det vil være lik 2pi ganger radiusen til den sirkelen, som er liten r ganger b vil være lik neu 0 ganger jeg vedlagt.
i vedlagt er nettstrømmen som går gjennom regionen omgitt av denne sløyfen c, så det er overflaten. Sløyfen c omgir denne grønne skyggelagte regionen, og vi vet at gjennom hele den indre overflaten er strømmen som strømmer i sub a, som i utgangspunktet dekker hele denne regionen her, og for å få nettstrømmen som strømmer gjennom denne grønne skyggelagte regionen, vil vi definere gjeldende tetthet, som er strøm per enhet tverrsnittsareal, og hvis vi multipliserer den nåværende tettheten av området omgitt av løkken c, vil vi få mengden strøm som passerer gjennom overflaten.
derfor, hvis vi går videre, vil vi ha b ganger 2pir, dette er venstre side, som er lik neu0 ganger jeg vedlagt, hvor i dette tilfellet jeg vedlagt vil være lik J ganger området i den regionen, som er pir kvadrert, og her er dagens tetthet total strøm jeg dividert med det totale tverrsnittsarealet av denne ledningen, og det er pi ganger en firkant.
Så, b ganger 2pir kommer til å være neu0 ganger, hvor jeg vedlagt vi vil ha jeg over pia square, og dette er dagens tetthet for strømmen som strømmer gjennom den indre sylinderen, og jeg bør bruke abonnement a her fordi vi definerte mengden strøm som strømmer gjennom den indre sylinderen som jeg sub en. ende opp med den totale strømmen som passerer gjennom den overflaten.
her vil denne pi og den pi avbryte, og vi kan avbryte en av disse r-rutene med r på venstre side, og forlate b alene vil vi ende opp med magnetfelt inne i den indre sylinderen som neu0 i sub a dividert med 2pia kvadrat ganger r.
og selvfølgelig er dette identisk resultat med eksemplet som vi gjorde tidligere for å få magnetfeltprofilen til en strøm som bærer sylindrisk ledning.
nå, som en annen region, la oss vurdere magnetfeltet for regionen som vårt interessepunkt er mellom de to sylinderne. Med andre ord, r er mindre enn b og større enn en region.
hvis vi ser på den regionen, snakker vi om denne delen, og i denne delen la oss si at vårt interessepunkt nå ligger et sted her borte. Igjen velger vi en lukket sløyfe. I dette tilfellet, la oss kalle dette som c2, som sammenfaller med magnetfeltlinjen som går gjennom interessepunktet p. nå ligger det i denne regionen.
og for den regionen er dette vår ytre sylindriske skallregion som bærer strømmen i sub b inn i flyet. Nå, for denne regionen, igjen, når vi velger denne sløyfen som faller sammen med feltlinjen som går gjennom det punktet, vil den tilfredsstille betingelsene for å anvende ampere ‘s lov, og derfor vil venstre side av ampere’ s lov være identisk med forrige del, og den skal gi oss b notat dl integrert over nå sløyfe c2, som er lik neu0 jeg vedlagt. Den venstre side kommer til å gi oss, igjen, b ganger 2pir. Selvfølgelig er avstanden, lille r, avstanden fra sentrum til dette punktet for denne regionen.
og høyre side, for dette tilfellet, nå skal vi se på nettstrømmen som passerer gjennom regionen omgitt av sløyfe c2, med andre ord området omgitt av sløyfe c2, og det er dette gule skyggefulle området, og når vi ser på den overflaten, ser vi at hele strømmen som strømmer gjennom den indre sylinderen, passerer gjennom denne overflaten, og selvfølgelig er alt utenfor denne overflaten av interesse, og derfor, i dette tilfellet, jeg vedlagt kommer til å være lik bare strømmen som strømmer gjennom den indre sylinderen, som er jeg sub a. Derfor, på høyre side, vil vi ha neu0 ganger i sub a, og løse for magnetfeltet vil vi ha neu0 i sub a over 2pir for denne regionen.
så dette er tilfellet, at r er mellom b og a og for den forrige delen beregnet vi magnetfeltet for regionen slik at r er mindre enn a.
la Oss nå gå videre og la oss beregne magnetfeltet inne i det andre sylindriske skallet. Så, i dette tilfellet snakker vi om b i regionen der r er mellom c og b.
med andre ord, nå er vi interessert i det indre området av dette andre sylindriske skallet. La oss anta at i dette tilfellet er vårt interessepunkt et sted her borte.
nå velger vi igjen vår empiriske sløyfe slik at den sammenfaller med feltlinjen som går gjennom det punktet, derfor vil den igjen være i form av en sirkel, og dens radius, r, måles nå fra midten og peker på dette .
la Oss nå kalle denne sløyfen som c3. Igjen vil venstre side beregninger være lik de forrige delene. Denne sløyfen vil tilfredsstille betingelsene for å anvende Ampere lov. Størrelsen på magnetfeltet vil være konstant overalt langs denne sløyfen, og vinkelen mellom b og dl vil være 0.
Så, Ampere lov, som er b dot dl, integrert over loop c3 lik neu0 jeg vedlagt kommer til slutt å gi oss, for venstre side, samme som ovenfor, vil gi oss d ganger dpir, og på høyre side vil vi ha neu0 ganger jeg vedlagt.
nå snakker vi om nettstrømmen som passerer gjennom området omgitt av loop c3. Hvis vi ser på dette området, vil vi se at først og fremst snakker vi om dette området nå her, dette blå skyggelagte området, i den regionen ser vi at hele indre sylinderen, eller strømmen som strømmer gjennom den indre sylinderen, vil passere gjennom det området, og for det andre sylindriske skallet ser vi at bare denne store delen av sylinderen vil bidra til magnetfeltet, fordi strømmen som strømmer gjennom regionen som er vår side av denne spesifikke overflaten, er av interesse.
derfor, siden jeg sub a strømmer ut av flyet, og jeg sub b strømmer inn i flyet, vil nettstrømmen i utgangspunktet være forskjellen mellom disse to strømmene. Så vi kan uttrykke jeg vedlagt som jeg sub a, la oss velge denne retningen, vår planretning som positiv, og det beveger seg ut av flyet, det er positivt, og den andre er brøkdelen av strømmen som beveger seg inn i flyet og for å uttrykke den, må vi nå uttrykke den nåværende tettheten forbundet med det ytre skallet, som er total strøm som strømmer gjennom det skallet, og det er jeg sub b, delt med det totale tverrsnittsarealet av lederen, vi snakker om det ytre skallet, og det totale tverrsnittsarealet av det ytre sylindriske skallet er området av dette store skallet. sylinder minus arealet av denne lille sylinderen.
så med andre ord vil det være lik pic squared minus pib square, og den delen, dette uttrykket, kommer til å være lik nåværende tetthet av den ytre sylinderen.
og denne tettheten ganger området av interesse vil gi oss nettstrømmen som strømmer gjennom det området. Så, med andre ord, hvis vi tar produktet av nåværende tetthet med denne blå skyggelagte regionen, skyggelagte regionens område jeg burde si, så vil vi få nettstrømmen som strømmer gjennom den overflaten, og det er i utgangspunktet pir squared minus pib squared.
Ok. Vi kan forenkle dette uttrykket ved å skrive det som jeg vedlagt er lik i sub a minus i sub b over pi parentes c kvadrat minus b kvadrat ganger pi ganger r kvadrat minus b kvadrat.
her pi vil avbryte, og derfor jeg vedlagt vil være lik denne mengden. Da b ganger 2pir vil være lik neu0 ganger jeg lukket og det er jeg sub a minus r square minus b square, jeg sub b delt med c square minus b square.
for å få magnetfeltet forlater vi den mengden alene på venstre side av ligningen, derfor vil b være lik neu0 over 2pir ganger i sub a minus i sub b ganger r square minus b square, delt med c square minus b square er lik parentes.
så innsiden av det ytre sylindriske skallet vil magnetfeltstørrelsen være lik denne mengden. Selvfølgelig er retningen, nettoretningen til magnetfeltet, enten dette er med klokken eller mot klokken, avhengig av størrelsen på disse strømmene, og dette er for regionen som r er mellom c og b.
den siste regionen er utsiden av denne koaksialkabelen. Så vi går tilbake til diagrammet vårt, så snakker vi om at vårt interessepunkt ligger et sted her, og igjen, ved å velge en empirisk sløyfe, som passerer gjennom interessepunktet og sammenfaller med feltlinjen som går gjennom det punktet, punkt p, og det er r avstand fra sentrum.
venstre Side Av Ampere lov, la oss kalle denne sløyfen som c4, Ampere lov for denne saken vil være b note dl integrert over loop c4, som vil bli kalt neu0 ganger jeg vedlagt, og venstre side, igjen, vil være lik de forrige delene, som vil gi oss b ganger 2pir, og det vil være lik, for jeg vedlagt nå, vi ser på diagrammet vårt, vi snakker om nettstrømmen som går gjennom området omgitt av nå, hele denne regionen, og det er omgitt av loop c4, som vi snakker om hele denne regionen, og vi kan lett se at hele nåværende passerer gjennom koaksialkabelen passerer gjennom dette punktet, passerer gjennom denne overflaten, og det er jeg sub a kommer ut av flyet og jeg sub b går inn i flyet.
som et resultat av dette vil nettstrømmen som passerer gjennom området omgitt av empirisk sløyfe c4 være lik i sub a minus i sub b siden de flyter i motsatt retning, derfor på høyre side vil vi ha neu0 ganger i sub a minus i sub b, og løse for magnetfelt kommer vi til å ende opp med det endelige uttrykket for neu0 2pir ganger i sub a minus i sub b.
og dette er magnetfeltet generert utenfor denne koaksialkabelen. Det er for regionen at r er større enn c.
Ok. Vel, hvis jeg sub a er lik i sub b, hvis disse to strømmene, at de er like i størrelse siden de flyter i motsatt retning, så vil jeg vedlagt være lik 0. Det betyr at magnetfeltet utenfor koaksialkabelen vil være 0 for r større enn c-regionen.