«Ingen vil drive oss fra paradiset Som Cantor skapte for oss» — David Hilbert
Hvilken bedre måte å tilbringe isolert enn å tenke over det uendelige? La oss bevise kanskje det enkleste og mest elegante beviset i matematikk: Cantors Teorem.
jeg sa enkel og elegant, ikke lett skjont!
Del I: Om problemet
Cantors teorem svarer på spørsmålet om et setts elementer kan settes inn i en en-til-en korrespondanse (‘paring’) med sine undergrupper. (Teknisk sett, en ‘bijection’). Denne typen problem er å gjøre med et matematisk konsept kalt ‘kardinalitet’. Vi kan se en en-til-en korrespondanse som en slags set-teoretisk matematisk dating: vi vil at hvert element i settet for å finne sin romantiske kamp i et annet sett, men ønsker å unngå polygami, og vi ønsker å unngå matematiske objekter å være singel.
for eksempel har settet {1,2,3} 3 elementer: 1, 2, 3.
Den har 8 undergrupper: {1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3}, {1,3}, {}, {1,2,3}
hvor {} er kjent som det tomme settet. Du kan ignorere det lykkelig for nå hvis det gjør deg ubehagelig: det vil ikke være viktig. Alternativt kan du se over som tre baller nummerert 1,2,3 og undergruppene som de forskjellige måtene du kan sette baller i en liten sekk. En ting du kan gjøre er å ikke legge noe i sekken: det tomme settet.
Så langt, så *lett*. Tross alt, for begrensede sett viser dette seg å være ganske åpenbart. Hvis et sett har n elementer, har settet av undergrupper 2 * * n elementer. I ovenstående har settet {1,2,3} 3 elementer ,og settet med undergrupper (det er en munnfull og forvirrende å lese, men se på eksemplet for å unconfuse deg selv!) har 8 elementer. 8 = 2*2*2 = 2**3 som jeg lovet.
* * * uttalelsen ‘settet med undergrupper’ kan være litt skremmende. For å føle deg litt mer komfortabel, forsikre deg først om at en delmengde er et fornuftig matematisk objekt. Hvis jeg har noen matematiske objekter, kan jeg gruppere noen av dem sammen og la andre ut. Du kan se det opprinnelige settet som alle dine fotballspillere, og settet med delsett som alle potensielle lag du kan lage fra de spillerne, uansett størrelse. Når vi kommer til et uendelig antall spillere, kan ting bli litt vanskeligere å konseptualisere, men grunnleggende ideen er den samme.***
Men Cantor hadde satt blikket større. Hva med sett med et uendelig antall elementer? Kan vi sammenligne størrelsen på to sett med et uendelig antall elementer? (Spoiler: ja.)
Trinn II: Beviset
Cantor antar at du har funnet en sammenkobling som fungerer.
det vil si at du har en funksjon, som du legger inn et element i et sett, og utgangen er en delmengde. Ikke bare det, men for hver delmengde kan du peke på et element som blir ‘kartlagt’ eller ‘sendt’ av funksjonen til det delsettet. Også, ingen to elementer blir sendt til samme delmengde.
i eksemplet ovenfor kan noen foreslå funksjonen som sender 1 til settet {1}, 2 til settet {2,3} og 3 til settet {1,2}. Men ingenting er sendt til {1,2,3} så klart dette virker ikke.
For å generalisere Dette, Ber Cantor oss om å vurdere ‘settet av elementer som ikke finnes i delmengden de er kartlagt til’. I ovennevnte 3 sendes til {1,2} , men 3 er ikke i {1,2}, så passer kriteriet pent.
i vår matematiske set-teoretiske dateringsfunksjon trenger dette settet også en partner. Men hvem kan være dette settets partner? Hvis et element sendes til dette settet, så hvis det er inneholdt i det settet, kan det ikke være. (dvs. en selvmotsigelse). Hvorfor? Fordi det er da inneholdt i delmengden av elementer det ble kartlagt til! Hva om det ikke er i det settet? Da er det også en motsetning, som om det ikke er i settet, ved definisjonen av settet, må det være i settet fordi det ikke er inneholdt i delmengden det er kartlagt til.
Og Så Er Cantors svarte magi ferdig. Ved å anta at vår magiske matematiske datingfunksjon fungerte, fant vi et eksempel der det ikke kunne fungere.