Notasjon: i en ideell verden vil jeg bruke α, β, γ henholdsvis for koeffisientene lineær, areal-og volumutvidelse. Dessverre trenger vi γ for forholdet mellom varmekapasitet. Mange bruker β for volumutvidelse, så jeg følger det. Hva skal da brukes til arealutvidelse? Jeg bruker b, så vi har nå α, b, β, som er veldig klønete. Men vi trenger sjelden b, så kanskje vi kan overleve.
lineær ekspansjonskoeffisient:α
arealutvidelseskoeffisient: b
volumutvidelseskoeffisient: β
for små temperaturområder kan økningen i lengde, areal og volum med temperatur representeres ved
\ \]
\ \]
og
\ \]
for anisotrope krystaller kan koeffisienten være forskjellig i forskjellige retninger, men for isotrope materialer kan vi skrive
\^{2}=a_{1} \ venstre \]
\^{3}=V_{1} \ venstre\]
Dermed for små utvidelser, \ (\hat{b} \ ca 2 \ tilde {\alpha}\) og \ (\widehat {\beta} \ ca 3 \ hat {\alpha}\).
Ligninger 13.1.1, 2 og 3 definerer de omtrentlige koeffisientene over et endelig temperaturområde. Koeffisientene ved en bestemt temperatur er definert i form av derivatene, dvs.
\
\
\
forholdene b = 2α og β = 3α er nøyaktige.
vi spesifiserer «ved konstant trykk» fordi vi åpenbart ikke vil, i vår definisjon, hindre at materialet ekspanderer ved å øke trykket på det når vi oppvarmer det.
for faste stoffer er koeffisienten for lineær ekspansjon vanligvis den riktige parameteren; for væsker og gasser er volumkoeffisienten vanligvis passende. For de fleste kjente vanlige metaller er koeffisienten for lineær ekspansjon i orden 10-5 K−1. Legeringer som nikkel-stållegering,» invar», brukt i klokkekonstruksjon, kan ha mye mindre koeffisienter. Vanlig glass har en koeffisient bare litt mindre enn metallets; pyrex og smeltet kvarts har en mye mindre ekspansjon-dermed deres bruk i teleskopspeil. For væsker og gasser er det vanligvis volumkoeffisienten som er sitert. Volumkoeffisienten av kvikksølv er omtrent 0,00018 K−1. Vann samler seg faktisk mellom 0 og 4 oC, og utvider seg over den temperaturen. Volumkoeffisienten for luft ved 0 oC er 0,0037 K−1.
ved romtemperatur og over varierer koeffisienten for lineær ekspansjon av metaller ikke mye med temperatur, men ved lave temperaturer varierer ekspansjonskoeffisienten mye raskere med temperatur-og det gjør også den spesifikke varmekapasiteten (Se Avsnitt 8.10). For et gitt metall varierer variasjonen av ekspansjonskoeffisienten og den spesifikke varmekapasiteten med temperaturen på en ganske lignende måte, slik at forholdet for et gitt metall er konstant over et stort temperaturområde.
Øvelse: en firkantet metallplate har et sirkulært hull på området 300 cm2 i midten av det. Hvis koeffisienten for lineær ekspansjon er 2 × 10-5 Cº-1, beregne området av hullet når temperaturen på platen er hevet gjennom 100 grader.
Øvelse: Vis at volumutvidelseskoeffisienten for en ideell gass er 1 / T. Sammenlign dette med tallverdien for luft gitt ovenfor.
selv om klassisk termodynamikk ikke omhandler detaljerte mikroskopiske prosesser, er det interessant å spørre hvorfor et fast materiale utvides ved oppvarming. La oss forestille oss et krystallinsk fast stoff som består av atomer som er koblet til hverandre av små kilder, og hver vår styres Av Hookes Lov, og følgelig vibrerer hvert atom i en parabolisk potensiell brønn og beveger seg i enkel harmonisk bevegelse. Hvis vi øker temperaturen, øker vi amplitude av vibrasjonene, men vi endrer ikke middelposisjonene til atomene. Følgelig, i en slik modell, ville vi ikke forvente noen utvidelse ved oppvarming. Det virkelige potensialet er imidlertid ikke parabolisk, men er formet, i det minste kvalitativt, noe som Lennard-Jones eller Morse potensialene nevnt I Kapittel 6, Avsnitt 6.8. Hvis materialet oppvarmes, øker vibrasjonens amplitude, og på grunn av høyere ordens vilkår i potensialet, som gir potensialet sin asymmetriske anharmoniske form, øker den gjennomsnittlige separasjonen av atomene faktisk, og så har vi ekspansjon. Dermed er ekspansjonen ved oppvarming av et fast materiale en konsekvens av anharmoniciteten av atomvibrasjonene og asymmetrien av potensialet der de beveger seg.
\
\
Sammendrag
generelt, hvis lengden Ved T1 er l1, vil lengden l2 ved T2 bli gitt ved
\
i tilfelle hvor dl / dT er konstant, slik at \(\alpha=\frac{\alpha_{0}}{1+\alpha_{0} T}\), blir dette
\
i tilfelle der α er konstant, så blir det
\
således til den første rekkefølgen av små mengder, er alle varianter av α like.
Utvidelseskoeffisient som En Tensor Mengde. I Kapittel 4 nevnte jeg kort at i tilfelle av en anistropisk krystall er termisk ledningskoeffisient en tensormengde. Det samme gjelder for en anisotropisk krystall, av ekspansjonskoeffisienten. Dermed, hvis du under en fysikkundersøkelse ble bedt om å gi eksempler på tensormengder – kan du gi disse som eksempler-selv om en liten risiko kan være involvert hvis læreren din ikke hadde tenkt på disse som tensorer! Ekspansjonskoeffisienten av en anisotrop krystall kan variere i forskjellige retninger. (På Island Spar-kalsiumkarbonat – i en retning er koeffisienten faktisk negativ.) Hvis du kutter en anisotrop krystall i form av en terning, hvis kanter ikke er parallelle med den krystallografiske aksen, vil prøven ved oppvarming ikke bare ekspandere i volum, men det vil forandre seg i form for å bli en ikke-rektangulær parallellpiped. Imidlertid er det mulig å kutte krystallet i form av en terning slik at prøven ved oppvarming utvides til en rektangulær parallellpiped. Kubens kanter (og den resulterende parallellpiped) er da parallelle med ekspansjonens hovedakser, og koeffisientene i disse retningene er ekspansjonskoeffisientene. Disse retningene vil være parallelle med krystallografiske akser hvis krystallet har en av flere symmetriakser (men åpenbart ikke ellers)