Surface (topologie)

Une surface fermée est une surface compacte et sans limite. Des exemples sont des espaces comme la sphère, le tore et la bouteille de Klein. Des exemples de surfaces non fermées sont: un disque ouvert, qui est une sphère avec une perforation; un cylindre, qui est une sphère avec deux perforations; et la bande de Möbius. Comme pour tout collecteur fermé, une surface incorporée dans un espace euclidien qui est fermée par rapport à la topologie euclidienne héritée n’est pas nécessairement une surface fermée; par exemple, un disque intégré dans R 3 {\displaystyle\mathbb {R} ^{3}}

qui contient sa limite est une surface topologiquement fermée, mais pas une surface fermée.

Classification des surfaces ferméesmodifier

Quelques exemples de surfaces fermées orientables (à gauche) et de surfaces avec limite (à droite). À gauche: Certaines surfaces fermées orientables sont la surface d’une sphère, la surface d’un tore et la surface d’un cube. (Le cube et la sphère sont topologiquement équivalents l’un à l’autre.) Droit: Certaines surfaces avec une limite sont la surface du disque, la surface carrée et la surface de l’hémisphère. Les limites sont affichées en rouge. Tous les trois sont topologiquement équivalents les uns aux autres.

Le théorème de classification des surfaces fermées stipule que toute surface fermée connectée est homéomorphe à un membre de l’une de ces trois familles:

1. la sphère,
2. la somme connectée de g tori pour g ≥ 1,
3. la somme connectée de k plans projectifs réels pour k ≥ 1.

Les surfaces des deux premières familles sont orientables. Il est commode de combiner les deux familles en considérant la sphère comme la somme connectée de 0 tori. Le nombre g de tores impliqués est appelé le genre de la surface. La sphère et le tore ont des caractéristiques d’Euler 2 et 0, respectivement, et en général la caractéristique d’Euler de la somme connectée des tores g est 2−2g.

Les surfaces de la troisième famille sont non orientables. La caractéristique d’Euler du plan projectif réel est 1, et en général la caractéristique d’Euler de la somme connectée de k d’entre eux est 2-k.

Il s’ensuit qu’une surface fermée est déterminée, jusqu’à l’homéomorphisme, par deux informations : sa caractéristique d’Euler, et si elle est orientable ou non. En d’autres termes, la caractéristique d’Euler et l’orientabilité classent complètement les surfaces fermées jusqu’à l’homéomorphisme.

Les surfaces fermées avec plusieurs composants connectés sont classées par la classe de chacun de leurs composants connectés, et on suppose donc généralement que la surface est connectée.

Structure monoïdedit

Reliant cette classification aux sommes connectées, les surfaces fermées jusqu’à l’homéomorphisme forment un monoïde commutatif sous l’opération de somme connectée, comme le font d’ailleurs les variétés de toute dimension fixe. L’identité est la sphère, tandis que le plan projectif réel et le tore génèrent ce monoïde, avec une seule relation P #P #P = P #T, qui peut également s’écrire P #K = P#T, puisque K = P #P. Cette relation est parfois connue sous le nom de théorème de Dyck d’après Walther von Dyck, qui l’a prouvé dans (Dyck 1888), et la surface triple croisée P # P #P est en conséquence appelée surface de Dyck.

Géométriquement, connect-sum avec un tore (#T) ajoute une poignée avec les deux extrémités attachées au même côté de la surface, tandis que connect-sum avec une bouteille de Klein (#K) ajoute une poignée avec les deux extrémités attachées aux côtés opposés d’une surface orientable; en présence d’un plan projectif (#P), la surface n’est pas orientable (il n’y a pas de notion de côté), il n’y a donc pas de différence entre fixer un tore et fixer une bouteille de Klein, ce qui explique la relation.

Surfaces avec limite

Les surfaces compactes, éventuellement avec limite, sont simplement des surfaces fermées avec un nombre fini de trous (disques ouverts qui ont été enlevés). Ainsi, une surface compacte connectée est classée par le nombre de composantes limites et le genre de la surface fermée correspondante – de manière équivalente, par le nombre de composantes limites, l’orientabilité et la caractéristique d’Euler. Le genre d’une surface compacte est défini comme le genre de la surface fermée correspondante.

Cette classification découle presque immédiatement de la classification des surfaces fermées: le retrait d’un disque ouvert d’une surface fermée donne une surface compacte avec un cercle pour le composant de limite, et le retrait de k disques ouverts donne une surface compacte avec k cercles disjoints pour les composants de limite. Les emplacements précis des trous ne sont pas pertinents, car le groupe d’homéomorphisme agit k-transitivement sur tout collecteur connecté de dimension au moins 2.

Inversement, la limite d’une surface compacte est un collecteur 1 fermé, et est donc l’union disjointe d’un nombre fini de cercles; remplir ces cercles avec des disques (formellement, en prenant le cône) donne une surface fermée.

La surface orientable compacte unique du genre g et avec k composantes limites est souvent notée Σ g, k, {\displaystyle\Sigma_{g,k},}

par exemple dans l’étude du groupe de classes de mappage.

Surfaces de Riemann

Une surface de Riemann est un complexe 1-collecteur. Sur un plan purement topologique, une surface de Riemann est donc également une surface orientable au sens de cet article. En fait, chaque surface orientable compacte est réalisable comme une surface de Riemann. Ainsi, les surfaces de Riemann compactes sont caractérisées topologiquement par leur genre: 0, 1, 2,…. En revanche, le genre ne caractérise pas la structure complexe. Par exemple, il existe un nombre incalculable de surfaces de Riemann compactes non isomorphes du genre 1 (les courbes elliptiques).

Surfaces non compactesmodifier

Les surfaces non compactes sont plus difficiles à classer. À titre d’exemple simple, une surface non compacte peut être obtenue en perforant (en retirant un ensemble fini de points d’un collecteur fermé). D’autre part, tout sous-ensemble ouvert d’une surface compacte est lui-même une surface non compacte; considérons, par exemple, le complément d’un ensemble de Cantor dans la sphère, autrement appelé surface de l’arbre de Cantor. Cependant, toutes les surfaces non compactes ne sont pas un sous-ensemble d’une surface compacte; deux contre-exemples canoniques sont l’échelle de Jacob et le monstre du Loch Ness, qui sont des surfaces non compactes avec un genre infini.

Une surface non compacte M a un espace non vide d’extrémités E(M), ce qui décrit de manière informelle les façons dont la surface « part à l’infini ». L’espace E(M) est toujours topologiquement équivalent à un sous-espace fermé de l’ensemble de Cantor. M peut avoir un nombre fini ou infini dénombrable Nh de poignées, ainsi qu’un nombre fini ou infini dénombrable Np de plans projectifs. Si Nh et Np sont tous deux finis, alors ces deux nombres, et le type topologique de l’espace des extrémités, classent la surface M jusqu’à l’équivalence topologique. Si l’un ou l’autre de Nh et Np est infini, alors le type topologique de M dépend non seulement de ces deux nombres, mais aussi de la façon dont le ou les infinis s’approchent de l’espace des extrémités. En général, le type topologique de M est déterminé par les quatre sous-espaces de E(M) qui sont des points limites d’infiniment de poignées et d’infiniment de plans projectifs, des points limites de seulement poignées et des points limites de ni l’un ni l’autre.

Surfaces qui ne sont même pas dénombrables en secondedit

Si l’on supprime l’hypothèse de dénombrabilité en second de la définition d’une surface, il existe des surfaces topologiques (nécessairement non compactes) n’ayant pas de base dénombrable pour leur topologie. L’exemple le plus simple est peut-être le produit cartésien de la longue ligne avec l’espace des nombres réels.

Une autre surface n’ayant pas de base dénombrable pour sa topologie, mais ne nécessitant pas l’Axiome de choix pour prouver son existence, est la variété de Prüfer, qui peut être décrite par de simples équations qui la montrent comme une surface analytique réelle. La variété de Prüfer peut être considérée comme le demi-plan supérieur avec une « langue » supplémentaire Tx qui y pend directement en dessous du point (x, 0), pour chaque réel x.

En 1925, Tibor Radó a prouvé que toutes les surfaces de Riemann (c’est-à-dire les variétés complexes unidimensionnelles) sont nécessairement dénombrables en second (théorème de Radó). En revanche, si l’on remplace les nombres réels dans la construction de la surface de Prüfer par les nombres complexes, on obtient un collecteur complexe bidimensionnel (qui est nécessairement un collecteur réel à 4 dimensions) sans base dénombrable.

ProofEdit

La classification des surfaces fermées est connue depuis les années 1860, et aujourd’hui un certain nombre de preuves existent.

Les preuves topologiques et combinatoires en général reposent sur le résultat difficile que chaque 2-manifold compact est homéomorphe à un complexe simplicial, ce qui présente un intérêt à part entière. La preuve la plus courante de la classification est (Seifert & Threlfall 1934) erreur harv: aucune cible: CITEREFSeifertThrelfall1934 (help), qui amène chaque surface triangulée à une forme standard. Une preuve simplifiée, qui évite une forme standard, a été découverte par John H. Conway vers 1992, qu’il a appelée la « Preuve zéro non-pertinence » ou « preuve ZIP » et est présentée dans (Francis & Semaines 1999).

Une preuve géométrique, qui donne un résultat géométrique plus fort, est le théorème d’uniformisation. Cela n’a été prouvé à l’origine que pour les surfaces de Riemann dans les années 1880 et 1900 par Felix Klein, Paul Koebe et Henri Poincaré.