Qu’est-ce qu’un symbole Christoffel?

Voici la meilleure façon de penser aux symboles Christoffel, du moins pour un débutant.

Supposons que vous vouliez savoir si / comment un vecteur change d’un point à un autre dans votre collecteur sous-jacent, c’est-à-dire l’espace-temps. En d’autres termes, vous souhaitez différencier votre champ vectoriel. Il y a deux raisons pour lesquelles vous pouvez enregistrer une modification du champ de vecteur dans vos calculs:

1. Le vecteur lui-même peut en fait être différent en un point qu’en un autre OU
2. Le vecteur peut être décrit en utilisant des vecteurs de base différents aux deux points. (Lorsque vous modifiez une base, les composants des choses que vous décrivez changent.)

Tout changement que vous détectez dans la valeur du vecteur d’un point à un autre peut provenir de l’une ou l’autre de ces sources ou des deux.

Le point important est que lorsque vous évaluez si un vecteur (champ) a changé au fur et à mesure que vous passez d’un point à un autre dans l’espace-temps, vous avez besoin de quelque chose dans vos mathématiques pour rendre compte du fait que votre base (c’est-à-dire votre système de coordonnées) a changé en cours de route, en plus de tout changement qui peut s’être produit sur le vecteur lui-même.

La dérivée partielle ordinaire ne fait pas cela. Cela suppose simplement que la base ne change pas. Dans le cas le plus général, cependant, les vecteurs de base changeront. Pour tenir compte de cela, nous remplaçons la dérivée partielle ordinaire par ce qu’on appelle la dérivée covariante. La partie de la dérivée covariante qui garde la trace des changements résultant du changement de base est les symboles de Christoffel. Ils codent combien les vecteurs de base changent à mesure que nous nous déplaçons dans la direction des vecteurs de base eux-mêmes.

En quoi cela est-il utile en Relativité générale ? C’est parce que GR modélise la gravité comme la courbure du collecteur d’espace-temps, et les informations sur cette courbure sont codées dans les symboles de Christoffel.

Mais si les symboles de Christoffel dépendent de la base (et nous venons de dire qu’ils le sont – différents systèmes de coordonnées / vecteurs de base vous donneront des valeurs différentes pour les symboles de Christoffel), comment peuvent-ils donner des informations sur la courbure de la variété sous-jacente, qui devrait être indépendante du système de coordonnées?

Les symboles de Christoffel ne donnent pas directement la courbure. D’après ce que nous avons dit jusqu’à présent, il est clair que pour que les symboles de Christoffel soient identiques à zéro, les vecteurs de base ne doivent pas changer au fur et à mesure que nous allons d’un point à l’autre. Cela signifie que nous n’introduirons aucune modification fallacieuse à nos champs de vecteurs en ne tenant pas compte du changement de base.

Deux choses importantes à reconnaître:

1. Les symboles Christoffel non nuls ne signifient pas que le collecteur a une courbure. Tout ce que cela signifie, c’est que vous utilisez un champ de vecteur de base qui change de longueur et / ou de direction d’un point à l’autre. Un exemple courant est les coordonnées polaires sur le plan. Ces vecteurs de base changent de point en point, par exemple le vecteur de base dans la direction thêta s’allonge plus vous vous éloignez de l’origine dans la direction radiale. Cela signifie que vous aurez au moins des symboles Christoffel non nuls. Mais clairement, l’espace n’est pas incurvé.

   1. La disparition des symboles de Christoffel ne signifie pas que l’espace n’a pas de courbure. Cela peut signifier que vous voyagez le long d’une trajectoire connue sous le nom de géodésique. (C’est la généralisation des lignes droites à travers l’espace plat ordinaire étant « la distance la plus courte entre deux points.’) La contrepartie physique de ceci est la chute libre.

Puisque les symboles de Christoffel définissent une dérivée covariante (i.e. dérivée qui prend en compte la façon dont les vecteurs de base changent), elle permet de définir le  » transport parallèle  » d’un vecteur. C’est-à-dire que le symbole de Christoffel nous dit ce que signifie dire qu’un vecteur est déplacé d’un point à un autre de manière à rester « parallèle à lui-même ». « Parallèle à lui-même » signifie simplement « la dérivée covariante disparaît ».

La définition de la courbure (au moins l’une d’elles) dépend de ce processus de transport parallèle, qui est rendu possible par la dérivée covariante, qui est à son tour rendue possible par les symboles de Christoffel.

L’idée de base est que si nous transportons en parallèle un vecteur sur une boucle (c’est-à-dire en revenant à notre point de départ), nous ne nous retrouvons pas nécessairement avec le même vecteur que celui avec lequel nous avons commencé. Cela est vrai même si nous avons transporté le vecteur de manière « auto-parallèle ». Le fait crucial pour la courbure n’est pas seulement que nous nous retrouvons avec un vecteur différent de celui avec lequel nous avons commencé (cela peut arriver dans le cas d’une courbure nulle), mais que le vecteur exact avec lequel nous nous retrouvons dépend du chemin que nous avons emprunté. Donc, si vous transportez un vecteur « parallèle à lui-même » le long des chemins a et b, vous vous retrouvez avec deux vecteurs différents « parallèles » à celui avec lequel vous avez commencé. Si cela se produit, votre espace est par définition incurvé.

En résumé, la différence entre un espace plat et un espace courbe peut être mise comme ceci: dans un espace plat, il est possible de construire un système de coordonnées où les symboles de Christoffel disparaissent partout, c’est-à-dire où les vecteurs de base sont les mêmes en chaque point. Dans un espace incurvé, c’est impossible. Vous ne pouvez pas faire disparaître tous les symboles de Christoffel dans un espace incurvé, tout simplement parce que si vous le pouviez, il ne serait tout simplement pas incurvé. Ce serait plate!

Qu’est-ce que tout cela a à voir avec la physique? Eh bien, vous pouvez penser à la gravité comme résultant de la courbure de l’espace-temps, en utilisant des analogies de feuilles de caoutchouc, etc. Mais je trouve plus utile de penser que la gravité découle simplement de ce besoin de corriger la façon dont l’espace-temps sous-jacent nous oblige à utiliser différents vecteurs de base en différents points. En théorie de la relativité, la contrepartie physique du « changement de base » est le changement d’état de mouvement. Tout comme les termes découlant uniquement de changements de base ne reflètent pas les faits réels sur les vecteurs – uniquement les artefacts de la façon dont nous choisissons de décrire les vecteurs – les termes découlant de changements d’état de mouvement ne reflètent pas les faits physiques réels.

C’est le cœur de l’extension par Einstein de l’idée révolutionnaire de la relativité de Galilée – selon laquelle les lois de la physique sont ce qu’elles sont, quel que soit votre état de mouvement. Tout ce qui dépend de votre état de mouvement n’est pas un fait mais un artefact et doit être rejeté en tant que tel. Cela a conduit Einstein (et d’autres) à l’idée que les vraies lois de l’univers devraient être celles qui sont vraies quel que soit le système de coordonnées / l’état du mouvement. Les symboles de Christoffel peuvent être vus comme des termes dans les équations qui font en sorte qu’ils soient vrais pour tous les états de mouvement.

Donc, dans un sens, nous pouvons dire que l’existence de la gravité découle à la fois de et implique que les lois de la physique sont les mêmes quelle que soit la façon dont vous vous déplacez, en ce sens que si la gravité ne fonctionnait pas comme elle le fait, alors différents observateurs formuleraient des lois différentes en fonction de leurs perspectives paroissiales (et vice versa).