Si #S # est un ensemble d’objets avec une opération binaire # @ # (par exemple addition ou multiplication), alors on dit qu’il est fermé sous # @ # si et seulement si # a @ b dans S # pour tout # a, b dans S #.
C’est-à-dire, étant donné deux éléments quelconques #a # et #b# de #S #, l’expression #a@b # vous donne un autre élément de #S#.
Ainsi, par exemple, l’ensemble des entiers pairs #{ 0, 2, -2, 4, -4, 6, -6,… } # est fermé à la fois sous l’addition et la multiplication, car si vous ajoutez ou multipliez deux entiers pairs, vous obtiendrez un entier pair.
A titre de comparaison, l’ensemble des entiers impairs est fermé sous multiplication mais pas fermé sous addition.
Cela devient beaucoup plus intéressant une fois que nous avons également besoin d’une fermeture sous identité et inverse.
Par exemple, les nombres rationnels #QQ# ont les propriétés:
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Fermé sous addition #+# et multiplication #*#
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Contient une identité #0 # pour l’addition et #1# pour la multiplication.
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Contient des inverses additives pour n’importe quel élément.
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Contient des inverses multiplicatives pour tout élément non nul.
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Diverses autres propriétés qui se résument à l’addition et à la multiplication fonctionnant normalement (commutativité, associativité, distributivité, etc.).
On dit que les nombres rationnels forment un champ.
Que se passe-t-il lorsque nous ajoutons #sqrt(2) # à l’ensemble des nombres rationnels?
Il cesse d’être fermé sous addition ou multiplication. Exemple:
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Si vous ajoutez un nombre rationnel à #sqrt(2) # alors vous obtenez un autre nombre irrationnel.
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Si vous multipliez n’importe quel nombre irrationnel (à part #0 # ou #1 #) par #sqrt(2) # alors vous obtenez un autre nombre irrationnel.
Afin de le refermer, nous devons inclure tous les numéros du formulaire:
# a + bsqrt(2)#
où #a, b dans QQ #
Alors on trouve:
#( a + bsqrt(2)) +(c + dsqrt(2)) = (a+c) +(b+d) sqrt(2)#
#( a + bsqrt(2)) *(c + dsqrt(2)) = (ac + bd) +(ad+ bc) sqrt(2)#
#( a + bsqrt(2)) +((-a) +(-b) sqrt(2)) = 0#
#( a + bsqrt(2)) *((a/(a^2-2b^2)) -(b/(a^2-2b^2)) sqrt(2)) = 1#
Le plus délicat est le dernier, qui nous dit en gros que les nombres de la forme # a + bsqrt(2) # sont fermés sous inverse multiplicatif. On pourrait dire que les nombres non nuls de la forme # a + bsqrt(2) # sont fermés sous division.