» Personne ne nous chassera du paradis que Cantor a créé pour nous » — David Hilbert
Quelle meilleure façon de passer dans l’isolement que de méditer sur l’infini? Prouvons peut-être la preuve la plus simple et la plus élégante en mathématiques: le théorème de Cantor.
J’ai dit simple et élégant, pas facile cependant!
Partie I: Énoncer le problème
Le théorème de Cantor répond à la question de savoir si les éléments d’un ensemble peuvent être mis dans une correspondance un à un (« appariement ») avec ses sous-ensembles. (Techniquement parlant, une « bijection »). Ce genre de problème est lié à un concept mathématique appelé « cardinalité ». Nous pouvons voir une correspondance individuelle comme une sorte de datation mathématique théorique: nous voulons que chaque élément de l’ensemble trouve sa correspondance romantique dans un autre ensemble, mais nous voulons éviter la polygamie, et nous voulons éviter que les objets mathématiques ne soient célibataires.
Par exemple, l’ensemble {1,2,3} a 3 éléments: 1, 2, 3.
Il comporte 8 sous-ensembles: {1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3}, {1,3}, {}, {1,2,3}
où {} est appelé « ensemble vide ». Vous pouvez l’ignorer joyeusement pour l’instant si cela vous met mal à l’aise: ce ne sera pas important. Vous pouvez également voir ce qui précède comme trois balles numérotées 1,2,3 et les sous-ensembles comme les différentes façons de mettre des balles dans un petit sac. Une chose que vous pouvez faire est de ne rien mettre dans le sac: l’ensemble vide.
Jusqu’à présent, si * facile*. Après tout, pour les ensembles finis, cela s’avère assez évident. Si un ensemble a N éléments, alors l’ensemble des sous-ensembles a 2 ** n éléments. Dans ce qui précède, l’ensemble {1,2,3} a 3 éléments et l’ensemble des sous-ensembles (c’est une bouchée et déroutante à lire, mais regardez l’exemple pour vous déconcentrer!) a 8 éléments. 8 = 2*2*2 = 2**3 comme je l’avais promis.
*** L’instruction « l’ensemble des sous-ensembles » peut être un peu intimidante. Pour vous sentir un peu plus à l’aise, assurez-vous d’abord qu’un sous-ensemble est un objet mathématique sensible. Si j’ai des objets mathématiques, je peux en regrouper certains et en laisser d’autres de côté. Vous pouvez voir l’ensemble d’origine comme tous vos joueurs de football, et l’ensemble des sous-ensembles comme toutes les équipes potentielles que vous pouvez former à partir de ces joueurs, de toute taille. Lorsque nous arrivons à un nombre « infini » de joueurs, les choses peuvent devenir un peu plus difficiles à conceptualiser, mais l’idée de base est la même.***
Mais Cantor avait vu plus grand. Qu’en est-il des ensembles avec un nombre infini d’éléments? Peut-on comparer la taille de deux ensembles avec un nombre infini d’éléments? (Spoiler : oui.)
Étape II: La preuve
Cantor suppose que vous avez trouvé un appariement qui fonctionne.
C’est-à-dire que vous avez une fonction, que vous mettez dans un élément d’un ensemble, et la sortie est un sous-ensemble. Non seulement cela, mais pour chaque sous-ensemble, vous pouvez pointer vers un élément qui est « mappé » ou « envoyé » par la fonction dans ce sous-ensemble. De plus, deux éléments ne sont pas envoyés au même sous-ensemble.
Dans l’exemple ci-dessus, quelqu’un peut proposer la fonction qui envoie 1 à l’ensemble {1}, 2 à l’ensemble {2,3} et 3 à l’ensemble {1,2}. Mais rien n’est envoyé à {1,2,3}, donc clairement cela ne fonctionne pas.
Pour généraliser cela, Cantor nous demande de considérer « l’ensemble des éléments qui ne sont pas contenus dans le sous-ensemble auquel ils sont mappés ». Par exemple, dans ce qui précède, 3 est envoyé à {1,2} mais 3 n’est pas dans {1,2}, ce qui correspond bien au critère.
Dans notre fonction de datation théorique des ensembles mathématiques, cet ensemble a également besoin d’un partenaire. Mais qui peut être le partenaire de cet ensemble? Si un élément est envoyé à cet ensemble, alors s’il est contenu dans cet ensemble, il ne peut pas l’être. (c’est-à-dire une contradiction). Pourquoi? Parce qu’il est alors contenu dans le sous-ensemble d’éléments auquel il a été mappé! Qu’en est-il s’il n’est pas dans cet ensemble? Alors cela aussi est une contradiction, car s’il n’est pas dans l’ensemble, par la définition de l’ensemble, il doit être dans l’ensemble car il n’est pas contenu dans le sous-ensemble auquel il est mappé.
Et ainsi la magie noire de Cantor est faite. En supposant que notre fonction de datation mathématique magique fonctionnait, nous avons trouvé un exemple où cela ne pouvait pas fonctionner.