Orbites circulaires

Le comportement détaillé des orbites réelles est la préoccupation de la mécanique céleste (voir l’article mécanique céleste). Cette section traite uniquement de l’orbite circulaire idéalisée et uniforme d’une planète telle que la Terre autour d’un corps central tel que le Soleil. En fait, l’orbite de la Terre autour du Soleil n’est pas exactement uniformément circulaire, mais c’est une approximation assez proche pour les besoins de cette discussion.

Un corps en mouvement circulaire uniforme subit à tout moment une accélération centripète donnée par l’équation (40). Selon la deuxième loi de Newton, une force est nécessaire pour produire cette accélération. Dans le cas d’une planète en orbite, la force est la gravité. La situation est illustrée à la figure 9. L’attraction gravitationnelle du Soleil est une force intérieure (centripète) agissant sur la Terre. Cette force produit l’accélération centripète du mouvement orbital.

Avant que ces idées ne soient exprimées quantitativement, il est utile de comprendre pourquoi une force est nécessaire pour maintenir un corps sur une orbite à vitesse constante. La raison en est qu’à chaque instant, la vitesse de la planète est tangente à l’orbite. En l’absence de gravité, la planète obéirait à la loi de l’inertie (la première loi de Newton) et s’envolerait en ligne droite dans la direction de la vitesse à vitesse constante. La force de gravité sert à surmonter la tendance inertielle de la planète, la maintenant ainsi en orbite.

La force gravitationnelle entre deux corps tels que le Soleil et la Terre est donnée par

où MS et ME sont les masses du Soleil et de la Terre, respectivement, r est la distance entre leurs centres, et G est une constante universelle égale à 6,674 × 10-11 Nm2 / kg2 (Newton mètres au carré par kilogramme au carré). La force agit le long de la direction reliant les deux corps (c’est-à-dire le long du vecteur de rayon du mouvement circulaire uniforme), et le signe moins signifie que la force est attrayante, agissant pour tirer la Terre vers le Soleil.

Pour un observateur à la surface de la Terre, la planète semble être au repos à (approximativement) une distance constante du Soleil. Il semblerait donc à l’observateur que toute force (telle que la gravité du Soleil) agissant sur la Terre doit être équilibrée par une force égale et opposée qui maintient la Terre en équilibre. En d’autres termes, si la gravité essaie d’attirer la Terre dans le Soleil, une force opposée doit être présente pour éviter que cela ne se produise. En réalité, une telle force n’existe pas. La Terre est en mouvement librement accéléré causé par une force déséquilibrée. La force apparente, connue en mécanique sous le nom de pseudoforce, est due au fait que l’observateur est en fait en mouvement accéléré. Dans le cas d’un mouvement orbital, la pseudoforce vers l’extérieur qui équilibre la gravité est appelée force centrifuge.

Pour une orbite circulaire uniforme, la gravité produit une accélération vers l’intérieur donnée par l’équation (40), a = −v2 / r. La pseudoforce f nécessaire pour équilibrer cette accélération est juste égale à la masse de la Terre fois une accélération égale et opposée, ou f = MEv2 / r. L’observateur terrestre croit alors qu’il n’y a pas de force nette agissant sur la planète — c’est-à-dire, que F + f = 0, où F est la force de gravité donnée par l’équation (41). La combinaison de ces équations donne une relation entre la vitesse v d’une planète et sa distance r du Soleil:

Il convient de noter que la vitesse ne dépend pas de la masse de la planète. Cela se produit exactement pour la même raison que tous les corps tombent vers la Terre avec la même accélération et que la période d’un pendule est indépendante de sa masse. Une planète en orbite est en fait un corps en chute libre.

L’équation (42) est un cas particulier (pour les orbites circulaires) de la troisième loi de Kepler, qui est discutée dans l’article mécanique céleste. En utilisant le fait que v = 2nr / T, où 2nr est la circonférence de l’orbite et T est le temps pour faire une orbite complète (c’est-à-dire que T est un an dans la vie de la planète), il est facile de montrer que T2 = (4π2 / GMS) r3. Cette relation peut également s’appliquer à des satellites en orbite circulaire autour de la Terre (auquel cas, ME doit être remplacé par MS) ou en orbite autour de tout autre corps central.