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Exemple – Champ magnétique d’un câble coaxial
Calculons maintenant les champs magnétiques d’un câble coaxial dans différentes régions.
B champ d’un câble coaxial. Un câble coaxial se compose de deux régions cylindriques concentriques, un noyau interne, une coque cylindrique externe, quelque chose comme ça. Ces régions cylindriques conductrices sont séparées les unes des autres par un milieu isolant, et comme l’un de ces cylindres transporte le courant dans un sens, c’est ce qu’on appelle le courant circulant dans le noyau interne en tant que i sub a. L’enveloppe cylindrique externe transporte le courant i sub b dans le sens opposé.
Si nous donnons quelques dimensions à ce câble, disons que ce rayon est a, le rayon intérieur de la coque cylindrique extérieure est b et le rayon extérieur de l’autre coque cylindrique est c.
Par conséquent, le courant traverse ces cylindres dans des directions opposées, et nous aimerions déterminer le champ magnétique d’un tel câble dans différentes régions. Commençons par la région telle que notre point d’intérêt, la distance au centre, soit inférieure au rayon a. En d’autres termes, à l’intérieur du cylindre intérieur.
Et regardons ce cas de la vue de dessus et nous avons donc ici, disons, le cylindre intérieur du point de vue de la section transversale, et la coque cylindrique extérieure, quelque chose comme ça, et le cylindre intérieur transporte le courant i sub a hors du plan, et le cylindre extérieur transporte le courant i sub b dans le plan, partout dans ces régions.
Encore une fois, le rayon du cylindre intérieur est a, et ce rayon est b et le rayon de la région extérieure est c. Eh bien, nous avons fait un exemple très similaire plus tôt. Notre première région d’intérêt est que notre point de point a est à l’intérieur du cylindre intérieur. Disons quelque part ici, et pour trouver le champ magnétique à cet endroit, qui est à une petite distance r du centre, nous plaçons une boucle empirique sous la forme d’un cercle qui coïncide avec la ligne de champ magnétique passant par ce point, et appelons cette boucle c1 pour la première région.
Et la loi d’empire/s dit que B de dl intégré sur cette boucle, c1, sera égal à neu 0 fois le courant net traversant la région, ou la surface, entourée par cette boucle c1.
Comme nous l’avons fait dans les exemples précédents, une telle boucle satisfera aux conditions pour appliquer la loi d’empire, et le champ magnétique sera tangent à la ligne de champ, et cette ligne de champ coïncide avec la boucle que nous choisissons et dl est un élément de déplacement incrémental le long de cette boucle, donc l’angle entre b et dl sera toujours de 0 degré pour ce cas.
Donc, le côté gauche nous donnera une magnitude b, une magnitude dl fois cosin de 0, intégrée sur la boucle c1, sera égale à neu 0 fois i fermée.
La cosine de 0 vaut 1 et b est constante sur cette boucle car la boucle coïncide avec la ligne de champ magnétique passant par ce point, et tant que nous serons sur cette ligne de champ, nous verrons la même magnitude de champ magnétique. Par conséquent, puisque la grandeur est constante, nous pouvons la prendre en dehors de l’intégrale, par conséquent, le côté gauche nous nous retrouvons avec b fois l’intégrale de dl sur la boucle c1 est égal à neu 0 fois i clos.
Intégrale de c1, intégrale de dl, sur la boucle c1 nous donnera la longueur de cette boucle, qui est la circonférence de ce cercle, et qui sera égale à 2pi fois le rayon de ce cercle, qui est petit r fois b sera égal à neu 0 fois i clos.
I est enfermé le courant net traversant la région entourée par cette boucle c, c’est-à-dire la surface. La boucle c entoure cette région ombragée en vert, et nous savons que sur toute la surface interne, le courant qui circule est i sub a, ce qui couvre essentiellement toute cette région ici, et afin d’obtenir le courant net circulant dans cette région ombragée en vert, nous définirons la densité de courant, qui est le courant par unité de section, et si nous multiplions cette densité de courant par l’aire entourée par la boucle c, nous obtiendrons la quantité de courant traversant cette surface.
Par conséquent, si nous passons à autre chose, nous aurons b fois 2pir, c’est le côté gauche, qui est égal à neu0 fois i clos, où dans ce cas i clos sera égal à J fois l’aire de cette région, qui est pir au carré, et ici la densité de courant est le courant total i divisé par l’aire de section totale de ce fil, et c’est pi fois un carré.
Donc, b fois 2pir va être neuf fois, où j’ai enfermé nous aurons i sur le carré pia, et c’est la densité de courant pour le courant traversant le cylindre intérieur, et je devrais utiliser l’indice a ici parce que nous avons défini la quantité de courant traversant le cylindre intérieur comme i sub a. I sub a sur le carré pia va nous donner la densité de courant, et si nous multiplions ce courant par unité de surface par l’aire de la région qui nous intéresse, qui est pir au carré, alors nous terminons avec le courant total traversant cette surface.
Ici, ce pi et ce pi s’annuleront, et nous pouvons annuler un de ces carrés r avec le r sur le côté gauche, et en laissant b seul, nous nous retrouverons avec un champ magnétique à l’intérieur du cylindre interne comme neu0 i sub a divisé par 2pia carrés fois r.
Et, bien sûr, c’est un résultat identique à l’exemple que nous avons fait précédemment pour obtenir le profil de champ magnétique d’un fil cylindrique porteur de courant.
Maintenant, en tant que deuxième région, considérons le champ magnétique de la région que notre point d’intérêt est entre les deux cylindres. En d’autres termes, r est inférieur à b et supérieur à une région.
Si nous regardons cette région, nous parlons de cette partie, et dans cette partie, disons que notre point d’intérêt est maintenant situé quelque part ici. Encore une fois, nous choisissons une boucle fermée. Dans ce cas, appelons celui-ci c2, qui coïncide avec la ligne de champ magnétique passant par le point d’intérêt p. Maintenant, il est situé dans cette région.
Et pour cette région, c’est notre région d’enveloppe cylindrique externe qui transporte le courant i sub b dans le plan. Maintenant, pour cette région, encore une fois, lorsque nous choisirons cette boucle qui coïncide avec la ligne de champ passant par ce point, elle remplira les conditions pour appliquer la loi d’ampère, et donc, le côté gauche de la loi d’ampère sera identique à la partie précédente, et cela va nous donner b note dl intégrée sur maintenant la boucle c2, qui est égale à neu0 i fermée. Le côté gauche va nous donner, encore une fois, b fois 2pir. Bien sûr, maintenant, la distance, petit r, est la distance du centre à ce point pour cette région.
Et du côté droit, pour ce cas, nous allons maintenant regarder le courant net traversant la région entourée par la boucle c2, en d’autres termes, la zone entourée par la boucle c2, et c’est cette zone ombrée en jaune, et lorsque nous regardons cette surface, nous voyons que tout le courant traversant le cylindre intérieur traverse cette surface, et bien sûr tout ce qui est en dehors de cette surface est intéressant, et donc, dans ce cas, i clos va être égal simplement au courant traversant le cylindre intérieur, qui est i sub a. Par conséquent, sur le côté droit, nous aurons neu0 fois i sub a, et en résolvant le champ magnétique, nous aurons neu0 i sub a sur 2pir pour cette région.
Donc, c’est le cas, que r est entre b et a et pour la partie précédente, nous avons calculé le champ magnétique pour la région tel que r est inférieur à a.
Maintenant, avançons et calculons le champ magnétique à l’intérieur de l’autre coquille cylindrique. Donc, dans ce cas, nous parlons de b à la région où r est entre c et b.
En d’autres termes, nous nous intéressons maintenant à la région intérieure de cette autre coque cylindrique. Supposons que dans ce cas, notre point d’intérêt se trouve quelque part ici.
Maintenant encore une fois, nous choisissons notre boucle empirique de telle sorte qu’elle coïncide avec la ligne de champ passant par ce point, par conséquent, elle sera à nouveau sous la forme d’un cercle, et son rayon, r, est maintenant mesuré à partir du centre, pointant ceci.
Appelons maintenant cette boucle comme c3. Encore une fois, les calculs du côté gauche seront similaires aux parties précédentes. Cette boucle remplira les conditions pour appliquer la loi d’Ampère. L’amplitude du champ magnétique sera constante partout le long de cette boucle et l’angle entre b et dl sera égal à 0.
Donc, la loi d’Ampère, qui est b point dl, intégrée sur la boucle c3 égale à neu0 i fermée va finalement nous donner, car le côté gauche, identique à ci-dessus, nous donnera d fois dpir, et du côté droit nous aurons neu0 fois i fermée.
Maintenant, nous parlons ici du courant net traversant la zone entourée par la boucle c3. Si nous regardons cette zone, nous verrons que, tout d’abord, nous parlons de cette zone maintenant ici, cette zone ombrée de bleu, dans cette région, nous verrons que tout le cylindre intérieur, ou le courant qui traverse le cylindre intérieur, traversera cette zone, et pour l’autre coquille cylindrique, nous verrons que seule cette grande section du cylindre contribuera au champ magnétique, car le courant qui traverse la région qui est notre côté de cette surface spécifique est d’intérêt.
Par conséquent, puisque i sub a s’écoule hors du plan et i sub b s’écoule dans le plan, le courant net va être fondamentalement la différence entre ces deux courants. Donc, nous pouvons exprimer i clos comme i sub a, choisissons cette direction, notre direction plane comme positive, et qui se déplace hors du plan, c’est-à-dire positive, et l’autre est la fraction du courant qui se déplace dans le plan et pour exprimer celle-ci, nous devons maintenant exprimer la densité de courant associée à l’enveloppe extérieure, qui est le courant total traversant cette enveloppe, et c’est-à-dire i sub b, divisé par la section transversale totale du conducteur, nous parlons de l’enveloppe extérieure, et la section transversale totale de cette enveloppe cylindrique extérieure est l’aire de cette grande cylindre moins la surface de ce petit cylindre.
Donc, en d’autres termes, cela sera égal au carré pic moins le carré pib, et cette partie, cette expression, va être égale à la densité de courant du cylindre extérieur.
Et cette densité multipliée par la zone d’intérêt nous donnera le courant net qui traverse cette zone. Donc, en d’autres termes, si nous prenons le produit de la densité de courant avec cette région ombragée en bleu, je devrais dire la zone de la région ombragée, alors nous obtiendrons le courant net traversant cette surface, et c’est essentiellement pir au carré moins pib au carré.
D’accord. Nous pouvons simplifier cette expression en l’écrivant comme i clos est égal à i sub a moins i sub b sur pi parenthèse c au carré moins b au carré fois pi fois r au carré moins b au carré.
Ici le pis s’annulera, et donc i ci-joint sera égal à cette quantité. Alors b fois 2pir sera égal à neu0 fois i clos et c’est-à-dire i sous a moins r carré moins b carré, i sous b divisé par c carré moins b carré.
Pour obtenir le champ magnétique, nous laissons cette quantité seule du côté gauche de l’équation, par conséquent, b sera égal à neu0 sur 2pir fois i sous a moins i sous b fois r carré moins b carré, divisé par c carré moins b carré est égal à la parenthèse.
Donc à l’intérieur de l’enveloppe cylindrique extérieure, l’amplitude du champ magnétique va être égale à cette quantité. Bien entendu, la direction, la direction nette du champ magnétique, que ce soit dans le sens horaire ou antihoraire, dépend de l’amplitude de ces courants, et c’est pour la région que r est comprise entre c et b.
La dernière région est la région extérieure de ce câble coaxial. Nous revenons donc à notre diagramme, puis nous parlons du fait que notre point d’intérêt est situé quelque part ici, et encore une fois, en choisissant une boucle empirique, qui passe par le point d’intérêt et qui coïncide avec la ligne de champ passant par ce point, le point p, et qui est à r distance du centre.
Le côté gauche de la loi d’Ampère, appelons cette boucle c4, la loi d’ampère pour ce cas sera la note b dl intégrée sur la boucle c4, qui sera appelée neu0 fois i fermée, et le côté gauche, encore une fois, sera similaire aux parties précédentes, ce qui nous donnera b fois 2pir, et ce sera égal à, pour le i fermé maintenant, nous allons regarder notre diagramme, nous parlons du courant net traversant la zone entourée par maintenant, toute cette région , et il est entouré par la boucle c4, dont nous parlons de toute cette région, et nous pouvons facilement voir que l’ensemble le courant traversant le câble coaxial passe par ce point, traversant cette surface, et c’est-à-dire que i sub a sort du plan et i sub b entre dans le plan.
De ce fait, le courant net traversant la zone entourée par la boucle empirique c4 sera égal à i sub a moins i sub b puisqu’ils circulent dans des directions opposées, par conséquent, du côté droit, nous aurons neu0 fois i sub a moins i sub b, et en résolvant le champ magnétique, nous allons aboutir à l’expression finale de neu0 2pir fois i sub a moins i sub b.
Et c’est le champ magnétique généré à l’extérieur de ce câble coaxial. C’est pour la région que r est supérieur à c.
D’accord. Eh bien, si i sub a est égal à i sub b, si ces deux courants, qu’ils sont égaux en magnitude puisqu’ils circulent dans des directions opposées, alors i clos va être égal à 0. Cela signifie que le champ magnétique à l’extérieur du câble coaxial sera de 0 pour la région r supérieure à c.