Notation: Dans un monde idéal, j’utiliserais α, β, γ respectivement pour les coefficients d’expansion linéaire, d’aire et de volume. Malheureusement, nous avons besoin de γ pour le rapport des capacités thermiques. Beaucoup de gens utilisent β pour l’expansion du volume, donc je vais suivre cela. Que faut-il donc utiliser pour l’expansion de la zone? Je vais utiliser b, donc nous avons maintenant α, b, β, ce qui est très maladroit. Cependant, nous aurons rarement besoin de b, alors peut-être que nous pourrons survivre.
Coefficient d’expansion linéaire: α
Coefficient d’expansion de surface: b
Coefficient de dilatation volumique: β
Pour de petites plages de température, les augmentations de longueur, de surface et de volume avec la température peuvent être représentées par
\ \]
\ \]
et
\ \]
Pour les cristaux anisotropes, le coefficient peut être différent dans différentes directions, mais pour les matériaux isotropes, nous pouvons écrire
\^{2}= A_{1}\ gauche \]
\^{3}= V_{1}\left\]
Ainsi pour les petites extensions, \(\hat{b}\approx 2\tilde{\alpha}\) et \(\widehat{\beta}\approx 3\hat{\alpha}\).
Équations 13.1.1, 2 et 3 définissent les coefficients approximatifs sur une plage de températures finie. Les coefficients à une température particulière sont définis en termes de dérivées, i.e.
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\
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Les relations b = 2α et β=3α sont exactes.
Nous spécifions « à pression constante » car évidemment nous ne voulons pas, dans notre définition, empêcher le matériau de se dilater en augmentant la pression sur celui-ci lorsque nous le chauffons.
Pour les solides, le coefficient de dilatation linéaire est généralement le paramètre approprié; pour les liquides et les gaz, le coefficient de volume est généralement approprié. Pour la plupart des métaux communs familiers, le coefficient de dilatation linéaire est d’ordre 10-5 K−1. Des alliages tels que l’alliage nickel-acier, « invar », utilisé dans la construction d’horloges, peuvent avoir des coefficients beaucoup plus petits. Le verre ordinaire a un coefficient seulement un peu inférieur à celui des métaux; le pyrex et le quartz fondu ont une expansion beaucoup plus petite – d’où leur utilisation dans les miroirs de télescope. Pour les liquides et les gaz, c’est généralement le coefficient de volume qui est cité. Le coefficient volumique du mercure est d’environ 0,00018 K−1. L’eau se contracte en fait entre 0 et 4 oC et se dilate au-dessus de cette température. Le coefficient volumique de l’air à 0 oC est de 0,0037 K-1.
À température ambiante et au-dessus, le coefficient de dilatation linéaire des métaux ne varie pas énormément avec la température, mais à basse température, le coefficient de dilatation varie beaucoup plus rapidement avec la température – tout comme la capacité thermique spécifique (voir Section 8.10). En effet, pour un métal donné, la variation du coefficient de dilatation et la capacité thermique spécifique varient avec la température de manière assez similaire, de sorte que, pour un métal donné, le rapport α/CP est constant sur une grande plage de température.
Exercice: Une plaque métallique carrée comporte un trou circulaire d’une surface de 300 cm2 au milieu. Si le coefficient de dilatation linéaire est de 2 × 10-5 Cº-1, calculez la surface du trou lorsque la température de la plaque est élevée de 100 degrés.
Exercice : Montrer que le coefficient de dilatation volumique d’un gaz idéal est de 1/T. Comparez cela avec la valeur numérique de l’air donnée ci-dessus.
Bien que la thermodynamique classique ne traite pas de processus microscopiques détaillés, il est intéressant de se demander pourquoi un matériau solide se dilate lors du chauffage. Imaginons un solide cristallin composé d’atomes reliés les uns aux autres par de petits ressorts, et chaque ressort est régi par la Loi de Hooke, et par conséquent chaque atome vibre dans un puits de potentiel parabolique et se déplace dans un simple mouvement harmonique. Si nous augmentons la température, nous augmentons l’amplitude des vibrations, mais nous ne modifions pas les positions moyennes des atomes. Par conséquent, dans un tel modèle, nous ne nous attendrions à aucune expansion lors du chauffage. Cependant, le potentiel réel n’est pas parabolique, mais est façonné, au moins qualitativement, quelque chose comme les potentiels de Lennard-Jones ou de Morse mentionnés au chapitre 6, section 6.8. Si le matériau est chauffé, l’amplitude des vibrations augmente et, en raison des termes d’ordre supérieur du potentiel, qui donnent au potentiel sa forme anharmonique asymétrique, la séparation moyenne des atomes augmente en effet, et nous avons donc une expansion. Ainsi, l’expansion lors du chauffage d’un matériau solide est une conséquence de l’anharmonicité des vibrations atomiques et de l’asymétrie du potentiel dans lequel elles se déplacent.
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Résumé
En général, si la longueur à T1 est l1, la longueur l2 à T2 sera donnée par
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Dans le cas où dl/dT est constant, de sorte que \(\alpha= \frac{\alpha_{0}}{1+\alpha_{0}T}\), cela devient
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Dans le cas où α est constant, il devient donc
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Ainsi, au premier ordre de petites quantités, toutes les variétés de α sont égales.
Coefficient de dilatation en tant que Grandeur tensorielle. Au chapitre 4, j’ai brièvement mentionné que, dans le cas d’un cristal anistropique, le coefficient de conduction thermique est une grandeur tensorielle. Il en est de même, pour un cristal anisotrope, du coefficient de dilatation. Ainsi, si, lors d’un examen de physique, on vous demandait de donner des exemples de grandeurs tensorielles, vous pourriez les donner comme exemples – bien qu’un petit risque puisse être impliqué si votre professeur ne les avait pas considérés comme des tenseurs! Le coefficient de dilatation d’un cristal anisotrope peut varier dans différentes directions. (En Islande, le longeron – carbonate de calcium – dans une direction, le coefficient est en fait négatif.) Si vous coupez un cristal anisotrope en forme de cube, dont les bords ne sont pas parallèles à l’axe cristallographique, l’échantillon, lors du chauffage, non seulement se dilatera en volume, mais il changera de forme pour devenir un parallélépipède non rectangulaire. Cependant, il est possible de découper le cristal sous la forme d’un cube de sorte que, lors du chauffage, l’échantillon se dilate en un parallélépipède rectangulaire. Les bords du cube (et le parallélépipède résultant) sont alors parallèles aux principaux axes de dilatation, et les coefficients dans ces directions sont les principaux coefficients de dilatation. Ces directions seront parallèles aux axes cristallographiques si le cristal a un ou plusieurs axes de symétrie (mais évidemment pas autrement)