en lukket overflade er en overflade, der er kompakt og uden grænse. Eksempler er rum som kuglen, torus og Klein-flasken. Eksempler på ikke-lukkede overflader er: en åben disk, som er en kugle med en punktering; en cylinder, som er en kugle med to punkteringer; og M-Pristbius-strimlen. Som med enhver lukket manifold er en overflade indlejret i euklidisk rum, der er lukket med hensyn til den arvelige euklidiske topologi, ikke nødvendigvis en lukket overflade; for eksempel en disk indlejret i R 3 {\displaystyle \ mathbb {R} ^{3}}
der indeholder dens grænse er en overflade, der er topologisk lukket, men ikke en lukket overflade.
klassificering af lukkede overfladerrediger
klassifikationssætningen for lukkede overflader siger, at enhver tilsluttet lukket overflade er homeomorf for et medlem af en af disse tre familier:
- sfæren,
- den tilsluttede sum af g tori for G-Kur 1,
- den tilsluttede sum af K-reelle projektive planer for k-Kur 1.
overfladerne i de to første familier er orienterbare. Det er praktisk at kombinere de to familier ved at betragte kuglen som den tilsluttede sum af 0 tori. Antallet g af involverede tori kaldes overfladens Slægt. Kuglen og torusen har henholdsvis Euler-karakteristika 2 og 0, og generelt er Euler-karakteristikken for den tilsluttede sum af g tori 2 − 2G.
overfladerne i den tredje familie ikke orienterbare. Euler-karakteristikken for det virkelige projektive plan er 1, og generelt er Euler − karakteristikken for den tilsluttede sum af k af dem 2-k.
det følger heraf, at en lukket overflade bestemmes op til homeomorfisme af to stykker information: dens Euler-karakteristik, og om den er orienterbar eller ej. Med andre ord klassificerer Euler-karakteristik og orienterbarhed fuldstændigt lukkede overflader op til homeomorfisme.
lukkede overflader med flere tilsluttede komponenter klassificeres efter klassen af hver af deres tilsluttede komponenter, og man antager således generelt, at overfladen er forbundet.
Monoid structuredit
i forbindelse med denne klassificering til tilsluttede Summer danner de lukkede overflader op til homeomorfisme en kommutativ monoid under drift af tilsluttet sum, ligesom manifolder af enhver fast dimension. Identiteten er kuglen, mens det virkelige projektive plan og torus genererer denne monoid med en enkelt relation P # P # P = P # T, som også kan skrives P # K = P # T, da K = P # P. Denne relation er undertiden kendt som Dycks sætning efter Dyck, der beviste det i (Dyck 1888), og den tredobbelte tværflade P # P # P kaldes derfor Dycks overflade.
Geometrisk tilføjer connect-sum med en torus (#T) et håndtag med begge ender fastgjort til den samme side af overfladen, mens connect-sum med en Klein-flaske (# K) tilføjer et håndtag med de to ender fastgjort til modsatte sider af en orienterbar overflade; i nærvær af et projektivt plan (# P) er overfladen ikke orienterbar (der er ingen forestilling om side), så der er ingen forskel mellem at fastgøre en torus og fastgøre en Klein-flaske, hvilket forklarer forholdet.
overflader med grænseredit
kompakte overflader, muligvis med grænse, er simpelthen lukkede overflader med et begrænset antal huller (åbne skiver, der er fjernet). Således klassificeres en tilsluttet kompakt overflade efter antallet af grænsekomponenter og slægten for den tilsvarende lukkede overflade – ækvivalent med antallet af grænsekomponenter, orienterbarheden og Euler-karakteristikken. Slægten af en kompakt overflade er defineret som slægten af den tilsvarende lukkede overflade.
denne klassificering følger næsten umiddelbart fra klassificeringen af lukkede overflader: fjernelse af en åben disk fra en lukket overflade giver en kompakt overflade med en cirkel til grænsekomponent, og fjernelse af K åbne diske giver en kompakt overflade med k uensartede cirkler til grænsekomponenter. De præcise placeringer af hullerne er irrelevante, fordi homeomorfisme gruppe virker k-transitivt på enhver tilsluttet manifold af dimension i det mindste 2.
omvendt er grænsen for en kompakt overflade en lukket 1-manifold og er derfor den uensartede forening af et endeligt antal cirkler; fyldning af disse cirkler med diske (formelt at tage keglen) giver en lukket overflade.
den unikke kompakte orienterbare overflade af slægten g og med k-grænsekomponenter betegnes ofte L. G, k, {\displaystyle \ Sigma _{g, k},}
for eksempel i undersøgelsen af kortlægningsklassegruppen.
Riemann surfacesEdit
en Riemann overflade er en kompleks 1-manifold. På et rent topologisk niveau er en Riemann-overflade derfor også en orienterbar overflade i betydningen af denne artikel. Faktisk kan enhver kompakt orienterbar overflade realiseres som en Riemann-overflade. Således kompakte Riemann overflader er karakteriseret topologisk af deres slægt: 0, 1, 2,…. På den anden side karakteriserer slægten ikke den komplekse struktur. For eksempel er der utallige mange ikke-isomorfe kompakte Riemann-overflader af Slægt 1 (de elliptiske kurver).
ikke-kompakte overfladerredit
ikke-kompakte overflader er vanskeligere at klassificere. Som et simpelt eksempel kan en ikke-kompakt overflade opnås ved at punktere (fjerne et endeligt sæt punkter fra) en lukket manifold. På den anden side er enhver åben delmængde af en kompakt overflade i sig selv en ikke-kompakt overflade; overvej for eksempel komplementet til en kantor, der er sat i kuglen, ellers kendt som Cantor-træoverfladen. Imidlertid er ikke alle ikke-kompakte overflader en delmængde af en kompakt overflade; to kanoniske modeksempler er Jacobs stige og Loch Ness-monsteret, som er ikke-kompakte overflader med uendelig Slægt.
en ikke-kompakt overflade M har et ikke-tomt rum med ender E(M), som uformelt beskriver måderne, hvorpå overfladen “går ud til uendelig”. Rummet E (M) svarer altid topologisk til et lukket underrum i Cantor-Sættet. M kan have et endeligt eller uendeligt antal NH af håndtag, såvel som et endeligt eller uendeligt antal NP af projektive planer. Hvis både Nh og Np er endelige, klassificerer disse to tal og den topologiske type rum af ender overfladen M op til topologisk ækvivalens. Hvis en eller begge af Nh og Np er uendelig, afhænger den topologiske type M ikke kun af disse to tal, men også af, hvordan den uendelige(e) nærmer sig endernes rum. Generelt bestemmes den topologiske type M af de fire underrum af E(M), der er grænsepunkter for uendeligt mange håndtag og uendeligt mange projektive planer, grænsepunkter for kun håndtag og grænsepunkter for ingen af dem.
overflader, der ikke engang kan tælles medredit
hvis man fjerner antagelsen om anden tællbarhed fra definitionen af en overflade, findes der (nødvendigvis ikke-kompakte) topologiske overflader, der ikke har nogen tællelig base for deres topologi. Måske er det enkleste eksempel det kartesiske produkt af den lange linje med rummet af reelle tal.
en anden overflade, der ikke har nogen tællelig base for dens topologi, men som ikke kræver det valgte aksiom for at bevise dets eksistens, er pr-Kristifermanifolden, som kan beskrives ved enkle ligninger, der viser, at den er en reel analytisk overflade. Pr-manifolden kan betragtes som det øverste halvplan sammen med en ekstra “tunge”, der hænger ned fra det direkte under punktet (0), for hver ægte.
i 1925 beviste Tibor Radarrist, at alle Riemann-overflader (dvs.endimensionelle komplekse manifolder) nødvendigvis er andentællelige (Radarrists sætning). I modsætning hertil, hvis man erstatter de reelle tal i konstruktionen af PR-Larsfer-overfladen med de komplekse tal, opnår man en todimensionel kompleks manifold (som nødvendigvis er en 4-dimensionel reel manifold) uden tællelig base.
ProofEdit
klassificeringen af lukkede overflader har været kendt siden 1860 ‘ erne, og i dag findes der en række beviser.
topologiske og kombinatoriske beviser er generelt afhængige af det vanskelige resultat, at hver kompakt 2-manifold er homomorf til et simpelt kompleks, som er af interesse i sig selv. Det mest almindelige bevis for klassificeringen er (Seifert & Threlfall 1934) harv fejl: intet mål: CITEREFSeifertThrelfall1934 (hjælp), som bringer hver trianguleret overflade til en standardformular. Et forenklet bevis, der undgår en standardformular, blev opdaget af John H. Congo omkring 1992, som han kaldte “nul irrelevans bevis” eller “lynlås bevis” og præsenteres i (Francis & uger 1999).
et geometrisk bevis, der giver et stærkere geometrisk resultat, er uniformiseringssætningen. Dette blev oprindeligt kun bevist for Riemann-overflader i 1880 ‘erne og 1900’ erne af Feliks Klein, Paul Koebeog Henri Poincar liter.