Hvad er en Christoffel symbol?

her er den bedste måde at tænke på Christoffel-symbolerne, i det mindste for en nybegynder.

Antag, at du vil vide, om/hvordan en vektor ændres fra et punkt til et andet i din underliggende manifold, dvs.rumtid. Med andre ord vil du differentiere dit vektorfelt. Der er to grunde til, at du muligvis registrerer en ændring i vektorfeltet i dine beregninger:

1. selve vektoren kan faktisk være anderledes på et tidspunkt end på det andet eller
2. vektoren kan beskrives ved hjælp af forskellige basisvektorer på de to punkter. (Når du ændrer et grundlag, ændres komponenterne i de ting, du beskriver.)

enhver ændring, du registrerer i vektorens værdi fra et punkt til et andet, kan være fra en eller begge af disse kilder.

det vigtige punkt er, at når du vurderer, om en vektor (felt) har ændret sig, når du går fra et punkt til et andet i rumtid, har du brug for noget i din matematik for at redegøre for det faktum, at dit grundlag (dvs.dit koordinatsystem) har ændret sig undervejs, ud over eventuelle ændringer, der måtte have fundet sted i selve selve vektoren.

det almindelige partielle derivat gør det ikke. Det forudsætter bare, at grundlaget ikke ændres. I det mest generelle tilfælde vil basisvektorerne imidlertid ændre sig. For at redegøre for dette erstatter vi det almindelige partielle derivat med det, der kaldes det kovariante derivat. Den del af det kovariante derivat, der holder styr på ændringer som følge af ændring af basis, er Christoffel-symbolerne. De koder for, hvor meget basisvektorerne ændrer sig, når vi bevæger os i retning af basisvektorerne selv.

Hvordan er dette nyttigt i generel relativitet? Det skyldes, at GR modellerer tyngdekraften som krumningen af rumtidsmanifolden, og information om denne krumning er kodet i Christoffel-symbolerne.

men hvis Christoffel-symbolerne er basisafhængige (og vi har lige sagt, at de er – forskellige koordinatsystemer/basisvektorer vil give dig forskellige værdier for Christoffel-symbolerne), hvordan kan de give information om krumningen af den underliggende manifold, som skal være uafhængig af koordinatsystemet?

Christoffel-symbolerne giver ikke krumningen direkte. Fra det, vi har sagt hidtil, er det klart, at for Christoffel-symbolerne at være nul identisk, må basisvektorerne ikke ændre sig, når vi går fra punkt til punkt. Dette betyder, at vi ikke introducerer falske ændringer i vores vektorfelter ved ikke at tage højde for ændring af basis.

to ting vigtigt at genkende:

1. ikke-nul Christoffel symboler betyder ikke, at manifolden har krumning. Alt det betyder er, at du bruger et basisvektorfelt, der ændrer længde og/eller retning fra punkt til punkt. Et almindeligt eksempel er polære koordinater på flyet. Disse basisvektorer ændres fra punkt til punkt, f.eks. basisvektoren i Theta-retningen bliver længere, jo længere du kommer fra oprindelsen i radial retning. Det betyder, at du vil have mindst nogle ikke-nul Christoffel symboler. Men klart er rummet ikke buet.

   1. forsvindende Christoffel-symboler betyder ikke, at rummet ikke har nogen krumning. Det kan betyde, at du rejser langs en bane kendt som en geodesik. (Dette er generaliseringen af lige linjer gennem almindeligt fladt rum, der er ‘den korteste afstand mellem to punkter.’) Den fysiske modstykke til dette er frit fald.

da Christoffel symboler lad os definere en kovariant derivat (dvs. et derivat, der tager højde for, hvordan basisvektorerne ændres), det giver os mulighed for at definere ‘parallel transport’ af en vektor. Dvs. Christoffel-symbolet fortæller os, hvad det betyder at sige, at en vektor forskydes fra et punkt til et andet på en måde, så den forbliver ‘parallel med sig selv’. ‘Parallelt med sig selv’ betyder bare’kovariant derivat forsvinder’.

definitionen af krumning (i det mindste en af dem) afhænger af denne parallelle transportproces, som muliggøres af det kovariante derivat, som igen muliggøres af Christoffel-symbolerne.

grundtanken er, at hvis vi parallelt transporterer en vektor over en løkke (dvs.kommer tilbage til vores udgangspunkt), ender vi ikke nødvendigvis med den samme vektor, vi startede med. Dette er sandt, selvom vi transporterede vektoren på en ‘selvparallel’ måde. Den afgørende kendsgerning for krumning er ikke kun, at vi ender med en anden vektor, end vi startede med (det kan ske i tilfælde af nul krumning), men at præcis hvilken vektor vi ender med afhænger af den vej, Vi tog. Så hvis du transporterer en vektor ‘parallelt med sig selv’ langs stierne A og b, ender du med to forskellige vektorer ‘parallelt’ med den, du startede med. Hvis det sker, er dit rum per definition buet.

sammenfattende kan forskellen mellem et fladt rum og et buet rum sættes sådan: i et fladt rum er det muligt at opbygge et koordinatsystem, hvor Christoffel-symbolerne forsvinder overalt, dvs.hvor basisvektorerne er de samme på hvert punkt. I et buet rum er dette umuligt. Du kan ikke få alle Christoffel-symbolerne til at forsvinde i et buet rum, simpelthen fordi hvis du kunne, ville det bare ikke være buet. Det ville være fladt!

Hvad har alt dette at gøre med fysik? Nå, du kan tænke på tyngdekraften som følge af krumning af rumtid, ved hjælp af gummiarkanalogier osv. Men jeg finder det mere nyttigt at tænke på tyngdekraften som blot som følge af dette behov for at korrigere for, hvordan den underliggende rumtid tvinger os til at bruge forskellige basisvektorer på forskellige punkter. I relativitetsteori er den fysiske modstykke til’ ændring af basis ‘ ændring af bevægelsestilstand. Ligesom udtryk, der udelukkende stammer fra ændringer i basis, ikke afspejler faktiske fakta om vektorer – kun artefakter af, hvordan vi vælger at beskrive vektorer – udtryk, der stammer fra ændringer i bevægelsestilstand, afspejler ikke reelle fysiske fakta.

dette er hjertet i Einsteins udvidelse af Galileos revolutionære ide om relativitet – at fysikkens love er, hvad de er, uanset din bevægelsestilstand. Alt, der afhænger af din bevægelsestilstand, er ikke en kendsgerning, men en artefakt og bør afvises som sådan. Dette førte Einstein (og andre) til ideen om, at universets sande love skulle være dem, der gælder uanset koordinatsystem/bevægelsestilstand. Christoffel-symbolerne kan ses som udtryk i ligningerne, der gør det sådan, at de gælder for alle bevægelsestilstande.

så på en måde kan vi sige, at eksistensen af tyngdekraften både følger af og indebærer, at fysikkens love er de samme, uanset hvordan du bevæger dig, i den forstand, at hvis tyngdekraften ikke fungerede som den gør, ville forskellige observatører formulere forskellige love afhængigt af deres parochiale perspektiver (og omvendt).