hvis #S# er et sæt objekter med en binær operation #@# (f.eks. tilføjelse eller multiplikation), siges det at være lukket under #@# if og kun hvis #A@b I S# for alle #A, b I S#.
det vil sige, givet to elementer #A# og #b# af #S#, giver udtrykket #A@b# dig et andet element af #s#.
så for eksempel sæt af lige heltal #{ 0, 2, -2, 4, -4, 6, -6,… }# er lukket under både Tilføjelse og multiplikation, da hvis du tilføjer eller multiplicerer to lige heltal, får du et lige heltal.
som kontrast er sættet af ulige heltal lukket under multiplikation, men ikke lukket under tilføjelse.
dette bliver meget mere interessant, når vi også kræver lukning Under identitet og omvendt.
for eksempel har de rationelle tal# KK # egenskaberne:
-
lukket under addition # + # og multiplikation #*#
-
indeholder en identitet # 0# for tilføjelse og #1# for multiplikation.
-
indeholder additive inverser til ethvert element.
-
indeholder multiplikative inverser for ethvert element, der ikke er nul.
-
forskellige andre egenskaber, der koger ned til tilføjelse og multiplikation, der fungerer som normalt (kommutativitet, associativitet, distributivitet osv.).
de rationelle tal siges at danne et felt.
Hvad sker der, når vi tilføjer #KVRT(2)# til sæt af rationelle tal?
det holder op med at blive lukket under addition eller multiplikation. Eksempel:
-
hvis du tilføjer et rationelt tal til # 2#, får du et andet irrationelt tal.
-
hvis du multiplicerer et irrationelt tal (bortset fra # 0 #eller# 1#) med# KVRT(2)#, får du et andet irrrationalt nummer.
for at gøre det lukket igen, skal vi medtage alle numre i formularen:
#a + bskrt(2)#
hvor # a, b i KK #
så finder vi:
#(a+C) (2)) + (c+D) (2)) = (a+c)+(b+d)(2)#
#( a+BD(2)) * (c+BD(2)) = (ac+bd) + (ad+bc)(2)#
#( a+bkrt (2))+((- a)+(- b)(2)) = 0#
#(a+bskrt (2)) * ((a / (A^2-2b^2)) – (b / (a^2-2b^2))(2)) = 1#
den vanskelige er den sidste, som dybest set fortæller os, at tallene i formularen #a+bskrt(2)# er lukket under multiplikativ invers. Man kan sige, at ikke-nul tal på formularen #a+bskrt(2)# er lukket under division.