fra Office of Academic Technologies på Vimeo.
eksempel – magnetfelt af et koaksialkabel
lad os nu beregne magnetfelterne for et koaksialkabel i forskellige regioner.
B felt af et koaksialkabel. Et koaksialkabel består af to koncentriske cylindriske områder, en indre kerne, en ydre cylindrisk skal, noget som dette. Disse ledende cylindriske områder adskilles af et isolerende medium fra hinanden, og som en af disse cylindre bærer strømmen i en retning, det kaldes strømmen, der strømmer den indre kerne som i sub A. den ydre cylindriske skal bærer strømmen i sub B i modsat retning.
hvis vi giver nogle dimensioner til dette kabel, lad os sige, at denne radius er A, den indre radius af den ydre cylindriske skal er b, og den ydre radius af den anden cylindriske skal er c.
derfor strømmer strømmen gennem disse cylindre i modsatte retninger, og vi vil gerne bestemme magnetfeltet for et sådant kabel i forskellige regioner. Lad os starte med regionen sådan, at vores interessepunkt, Afstand til centrum, er mindre end radius A. med andre ord inde i den indre cylinder.
og lad os se på denne sag ovenfra, og så her har vi, lad os sige, den indre cylinder fra tværsnitssynspunkt, og den ydre cylindriske skal, noget som dette, og den indre cylinder bærer strømmen i sub A ud af planet, og den ydre cylinder bærer strømmen i sub B ind i Planet overalt i disse regioner.
igen er den indre cylinders radius a, og denne radius er b og radius for det ydre område er c. Nå, vi har gjort et meget lignende eksempel tidligere. Vores første region af interesse er, at vores punkt A er inde i den indre cylinder. Lad os sige et sted her omkring, og for at finde magnetfeltet på dette sted, som er lidt r afstand væk fra centrum, placerer vi en empirisk sløjfe i form af en cirkel, der falder sammen med magnetfeltlinjen, der passerer gennem dette punkt, og lad os kalde denne sløjfe som c1 for den første region.
og empire/s-loven siger, at B af dl integreret over denne sløjfe, c1, vil være lig med neu 0 gange nettostrømmen, der passerer gennem regionen eller overfladen omgivet af denne sløjfe c1.
som vi gjorde i de tidligere eksempler, vil en sådan sløjfe opfylde betingelserne for at anvende empire ‘ s Lov, og magnetfeltet vil være tangent til feltlinjen, og den feltlinje falder sammen med den sløjfe, vi vælger, og dl er et inkrementelt forskydningselement langs denne sløjfe, derfor vil vinklen mellem b og dl altid være 0 grader for denne sag.
så venstre side giver os B-størrelse, dl-størrelsesorden gange cosinus på 0, integreret over loop c1, vil være lig med neu 0 gange jeg lukkede.
cosinus på 0 er 1 og b er konstant over denne sløjfe, fordi sløjfen falder sammen med magnetfeltlinjen, der passerer gennem dette punkt, og så længe vi er på den feltlinie, vil vi se den samme magnetfeltstørrelse. Derfor, da størrelsen er konstant, kan vi tage den uden for integralet, derfor er venstre side vi ender med b gange integreret af dl over loop c1 lig med neu 0 gange jeg lukket.
integreret af c1, integreret af dl, over loop c1 vil give os længden af Den sløjfe, som er omkredsen af den cirkel, og det vil være lig med 2pi gange radius af den cirkel, som er lidt r gange b vil være lig med neu 0 gange jeg lukkede.
jeg lukkede er nettostrømmen, der passerer gennem regionen omgivet af denne loop c, så det er overfladen. Sløjfen C omgiver dette grønne skraverede område, og vi ved, at gennem hele den indre overflade er strømmen i sub A, som dybest set dækker hele denne region herovre, og for at få nettostrømmen til at strømme gennem dette grønne skraverede område vil vi definere strømtætheden, som er strøm pr.enhed tværsnitsareal, og hvis vi multiplicerer denne strømtæthed med området omgivet af loop c, får vi mængden af strøm, der passerer gennem denne overflade.
derfor, hvis vi går videre, vil vi have b gange 2pir, dette er venstre side, som er lig med neu0 gange jeg lukket, hvor i dette tilfælde jeg lukket vil være lig med J gange arealet af det område, som er PIR kvadreret, og her er strømtætheden total strøm i divideret med det samlede tværsnitsareal af denne ledning, og det er pi gange en firkant.
så b gange 2pir vil være neu0 gange, hvor jeg lukkede vi vil have jeg over pia kvadrat, og dette er strømtætheden for strømmen, der strømmer gennem den indre cylinder, og jeg skal bruge abonnementet a herover, fordi vi definerede mængden af strøm, der strømmer gennem den indre cylinder som jeg sub A. jeg sub A over pia kvadrat vil give os den aktuelle tæthed, og hvis vi multiplicerer denne strøm pr.arealenhed med det område af regionen, som vi er interesseret, som er PIR kvadreret, så vil vi ender med den samlede strøm, der passerer gennem denne overflade.
her vil denne pi og den pi annullere, og vi kan annullere en af disse r-firkanter med r på venstre side, og hvis vi forlader b alene, vil vi ende med magnetfelt inde i den indre cylinder som neu0 i sub a divideret med 2pia kvadrat gange r.
og selvfølgelig er dette identisk resultat med det eksempel, vi gjorde tidligere for at få magnetfeltprofilen for en strømbærende cylindrisk ledning.
lad os nu som en anden region overveje magnetfeltet for regionen, som vores interessepunkt er mellem de to cylindre. Med andre ord er r mindre end b og større end en region.
hvis vi ser på den region, taler vi om denne del, og i denne del lad os sige, at vores interessepunkt nu er placeret et sted herovre. Igen vælger vi en lukket sløjfe. Lad os i dette tilfælde kalde denne som c2, som falder sammen med magnetfeltlinjen, der passerer gennem interessepunktet p. nu er det placeret i denne region.
og for den region er dette vores ydre cylindriske skalregion, der bærer strømmen i sub b ind i Planet. Nu, for denne region, igen, når vi vælger denne sløjfe, der falder sammen med feltlinjen, der passerer gennem dette punkt, vil den opfylde betingelserne for at anvende Amperes lov, og derfor vil venstre side af Amperes lov være identisk med den foregående del, og det vil give os b note dl integreret over nu loop c2, som er lig med neu0 i vedlagt. Den venstre side vil give os, igen, B gange 2pir. Selvfølgelig er afstanden, Lille r, afstanden fra centrum til dette punkt for denne region.
og højre side, for denne sag, nu skal vi se på nettostrømmen, der passerer gennem regionen omgivet af loop c2, med andre ord området omgivet af loop c2, og det er dette gule skraverede område, og når vi ser på den overflade, ser vi, at hele strømmen, der strømmer gennem den indre cylinder, passerer gennem denne overflade, og selvfølgelig er alt uden for denne overflade af interesse, og derfor vil jeg vedlagt i dette tilfælde være lig med simpelthen den strøm, der strømmer gennem den indre cylinder, hvilket er a. Derfor vil vi på højre side have neu0 gange i sub A, og løsning for magnetfeltet vil vi have neu0 i sub A over 2pir for denne region.
så det er tilfældet, at r er mellem b og A, og for den foregående del beregnede vi magnetfeltet for regionen, således at r er mindre end a.
lad os nu gå videre og lad os beregne magnetfeltet inde i den anden cylindriske skal. Så i dette tilfælde taler vi om b i regionen, hvor r er mellem c og b.
med andre ord, nu er vi interesseret i det indre område af denne anden cylindriske skal. Lad os antage, at vores interessepunkt i dette tilfælde er et sted herovre.
nu vælger vi igen vores empiriske løkke, så den falder sammen med feltlinjen, der passerer gennem dette punkt, derfor vil den igen være i form af en cirkel, og dens radius, r, måles nu fra midten og peger på dette .
lad os nu kalde denne loop som c3. Igen vil beregningerne på venstre side svare til de foregående dele. Denne sløjfe vil opfylde betingelserne for at anvende Amperes lov. Størrelsen af magnetfeltet vil være konstant overalt langs denne sløjfe, og vinklen mellem b og dl vil være 0.
så Amperes lov, som er b dot dl, integreret over loop c3 lig med neu0 i lukket, vil til sidst give os, for venstre side, samme som ovenfor, vil give os d gange dpir, og på højre side vil vi have neu0 gange jeg lukket.
nu her taler vi om nettostrømmen, der passerer gennem området omgivet af loop c3. Hvis vi ser på dette område, vil vi se, at vi først og fremmest taler om dette område nu her, dette blå skraverede område, i det område ser vi, at hele den indre cylinder eller strømmen, der strømmer gennem den indre cylinder, vil passere gennem dette område, og for den anden cylindriske skal ser vi, at kun denne meget del af cylinderen vil bidrage til magnetfeltet, fordi strømmen, der strømmer gennem regionen, som er vores side af denne specifikke overflade, er af interesse.
derfor, da jeg sub a strømmer ud af flyet, og jeg sub b strømmer ind i flyet, vil nettostrømmen stort set være forskellen mellem disse to strømme. Så vi kan udtrykke jeg lukket som jeg sub a, lad os vælge denne retning, vores planretning som positiv, og det bevæger sig ud af flyet, det er positivt, og den anden er den brøkdel af strømmen, der bevæger sig ind i flyet, og for at udtrykke den ene skal vi nu udtrykke den nuværende tæthed forbundet med den ydre skal, som er total strøm, der strømmer gennem den skal, og det er jeg sub b, divideret med lederens samlede tværsnitsareal, vi taler om den ydre skal, og det samlede tværsnitsareal af den ydre cylindriske skal er området for denne store cylinder minus arealet af denne lille cylinder.
så med andre ord, det vil være lig med pic kvadreret minus pib kvadrat, og den del, dette udtryk, vil være lig med strømtætheden af den ydre cylinder.
og denne tæthed gange området af interesse vil give os nettostrømmen, der strømmer gennem dette område. Så med andre ord, hvis vi tager produktet af strømtæthed med denne blå skyggefulde region, skyggefulde regions område, skal jeg sige, så får vi nettostrømmen, der strømmer gennem den overflade, og det er dybest set PIR kvadreret minus pib kvadreret.
Okay. Vi kan forenkle dette udtryk ved at skrive det, da jeg vedlagt er lig med i sub a minus i sub B over pi parentes c kvadreret minus b kvadreret gange pi gange r kvadreret minus b kvadreret.
her vil pi ‘ erne annullere, og derfor vil jeg vedlagt være lig med denne mængde. Så b gange 2pir vil være lig med neu0 gange jeg lukkede, og det er jeg sub a minus R kvadrat minus b kvadrat, jeg sub B divideret med C kvadrat minus b kvadrat.
for at få magnetfeltet forlader vi denne mængde alene på venstre side af ligningen, derfor vil b være lig med neu0 over 2pir gange i sub a minus i sub B gange R kvadrat minus b kvadrat divideret med C kvadrat minus b kvadrat er lig med parentes.
så inde i den ydre cylindriske skal vil magnetfeltstørrelsen være lig med denne mængde. Selvfølgelig afhænger retningen, netretningen af magnetfeltet, uanset om det er med uret eller mod uret, af størrelsen af disse strømme, og det er for regionen, at r er mellem c og b.
den sidste region er det ydre område af dette koaksialkabel. Så vi går tilbage til vores diagram, så taler vi om, at vores interessepunkt er placeret et sted herovre, og igen ved at vælge en empirisk sløjfe, der passerer gennem interessepunktet og falder sammen med feltlinjen, der passerer gennem det punkt, punkt p, og det er r afstand væk fra centrum.
venstre side af Ampere ‘s lov, lad os kalde denne loop som c4, Ampere’ s Lov for denne sag vil være b note dl integreret over loop c4, som vil blive kaldt neu0 gange jeg lukkede, og venstre side vil igen svare til de tidligere dele, som vil give os b gange 2pir, og det vil være lig med, for jeg lukkede nu, vi vil se på vores diagram, vi taler om nettostrømmen, der passerer gennem området omgivet af nu, hele denne region vil, og det er omgivet af loop C4, som vi taler om hele denne region, og vi kan nemt se, at hele strøm, der passerer gennem koaksialkablet, passerer gennem dette punkt, passerer gennem denne overflade, og det er jeg sub a kommer ud af flyet, og jeg sub b går ind i flyet.
som et resultat af dette vil nettostrømmen, der passerer gennem området omgivet af empirisk loop c4, være lig med i sub a minus i sub B, da de flyder i modsatte retninger, derfor på højre side vil vi have neu0 gange i sub a minus i sub B, og løsning for magnetfelt vil vi ende med det endelige udtryk for neu0 2pir gange i sub a minus i sub B.
og dette er det magnetiske felt, der genereres uden for dette koaksialkabel. Det er for regionen, at r er større end c.
Okay. Tja, hvis jeg sub A er lig med i sub b, hvis disse to strømme, at de er lige i størrelse, da de flyder i modsatte retninger, så jeg lukkede vil være lig med 0. Det betyder, at magnetfeltet uden for koaksialkablet vil være 0 for r større end C-regionen.