cirkulære baner

den detaljerede opførsel af virkelige baner er bekymring for himmelmekanik (se artiklen himmelmekanik). Dette afsnit behandler kun den idealiserede, ensartede cirkulære bane af en planet som jorden omkring en central krop som Solen. Faktisk er Jordens kredsløb om Solen ikke helt nøjagtigt ensartet cirkulær, men det er en tæt nok tilnærmelse med henblik på denne diskussion.

et legeme i ensartet cirkulær bevægelse gennemgår til enhver tid en centripetal acceleration givet ved ligning (40). I henhold til den anden lov kræves der en kraft for at producere denne acceleration. I tilfælde af en kredsende planet er kraften tyngdekraften. Situationen er illustreret i figur 9. Solens gravitationsattraktion er en indre (centripetal) kraft, der virker på jorden. Denne kraft frembringer centripetal acceleration af orbitalbevægelsen.

før disse ideer udtrykkes kvantitativt, er en forståelse af, hvorfor en kraft er nødvendig for at opretholde en krop i en bane med konstant hastighed, nyttig. Årsagen er, at planetens hastighed på hvert øjeblik er tangent til kredsløbet. I mangel af tyngdekraften ville planeten adlyde inerti-loven og flyve i en lige linje i retning af hastigheden med konstant hastighed. Tyngdekraften tjener til at overvinde planetens inertielle tendens og derved holde den i kredsløb.

tyngdekraften mellem to kroppe som Solen og Jorden er givet af

hvor MS og ME er masserne af Solen og Jorden, henholdsvis r er afstanden mellem deres Centre, og G er en universel konstant lig med 6.674 liter 10-11 nm2/kg2. Kraften virker i den retning, der forbinder de to kroppe (dvs.langs radiusvektoren for den ensartede cirkulære bevægelse), og minustegnet betyder, at kraften er attraktiv og virker for at trække jorden mod solen.

til en observatør på jordens overflade ser planeten ud til at være i ro i (ca.) en konstant afstand fra solen. Det ser derfor ud til observatøren, at enhver kraft (såsom solens tyngdekraft), der virker på jorden, skal afbalanceres af en lige og modsat kraft, der holder jorden i ligevægt. Med andre ord, hvis tyngdekraften forsøger at trække jorden ind i solen, skal der være en modsatrettet kraft for at forhindre, at det sker. I virkeligheden findes der ingen sådan kraft. Jorden er i frit accelereret bevægelse forårsaget af en ubalanceret kraft. Den tilsyneladende kraft, kendt i mekanik som en pseudoforce, skyldes det faktum, at observatøren faktisk er i accelereret bevægelse. I tilfælde af orbitalbevægelse kaldes den udadvendte pseudoforce, der afbalancerer tyngdekraften, centrifugalkraften.

for en ensartet cirkulær bane producerer tyngdekraften en indadgående acceleration givet ved ligning (40), a = −v2/r. den pseudoforce f, der er nødvendig for at afbalancere denne acceleration, er lige lig med jordens masse gange en lige og modsat acceleration, eller f = MEv2/r. den jordbundne observatør mener derefter, at der ikke er nogen nettokraft, der virker på planeten—dvs., at F + f = 0, hvor F er tyngdekraften givet ved ligning (41). Kombination af disse ligninger giver et forhold mellem hastigheden v på en planet og dens afstand r fra solen:

det skal bemærkes, at hastigheden ikke afhænger af planetens masse. Dette sker af nøjagtig samme grund, at alle kroppe falder mod jorden med den samme acceleration, og at perioden for et pendul er uafhængig af dets masse. En kredsende planet er faktisk en frit faldende krop.

ligning (42) er et specielt tilfælde (for cirkulære baner) af Keplers tredje lov, som diskuteres i artiklen celestial mechanics. Ved hjælp af det faktum, at v = 2NR/T, hvor 2nR er omkredsen af kredsløbet, og T er tiden til at lave en komplet bane (dvs.T er et år i planetens liv), er det let at vise, at T2 = (4 liter 2/GMS)r3. Denne relation kan også anvendes på satellitter i cirkulær kredsløb omkring Jorden (i hvilket tilfælde ME skal erstattes af MS) eller i kredsløb omkring ethvert andet centralt organ.