“ingen vil drive os fra det paradis, som Cantor skabte for os” — David Hilbert
hvilken bedre måde at tilbringe isoleret end at overveje det uendelige? Lad os bevise måske det enkleste og mest elegante bevis i matematik: Cantors sætning.
jeg sagde enkel og elegant, ikke let selv!
Del I: Angivelse af problemet
Cantors sætning besvarer spørgsmålet om, hvorvidt et sæt elementer kan sættes i en en-til-en korrespondance (‘parring’) med dets undergrupper. (Teknisk set en ‘bijektion’). Denne form for problem er at gøre med et matematisk koncept kaldet ‘kardinalitet’. Vi kan se en en-til-en korrespondance som en slags sætteoretisk matematisk dating: vi ønsker, at hvert element i sættet finder sit romantiske match i et andet sæt, men ønsker at undgå polygami, og vi vil undgå, at matematiske objekter er single.
for eksempel har Sættet {1,2,3} 3 elementer: 1, 2, 3.
det har 8 undergrupper: {1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3}, {1,3}, {}, {1,2,3}
hvor {} er kendt som’tomt sæt’. Du kan ignorere det lykkeligt for nu, hvis det gør dig ubehagelig: det vil ikke være vigtigt. Alternativt kan du se ovenstående som tre bolde nummereret 1,2,3 og undermængderne som de forskellige måder, du kan lægge bolde i en lille sæk. En ting du kan gøre er at lægge intet i sækken: det tomme sæt.
indtil videre, så *let*. Når alt kommer til alt, for endelige sæt viser det sig at være ret indlysende. Hvis et sæt har n elementer, har sættet af undergrupper 2**n elementer. I ovenstående sæt {1,2,3} har 3 elementer, og sæt af delmængder (det er en mundfuld og forvirrende at læse, men se på eksemplet for at unconfuse dig selv!) har 8 elementer. 8 = 2*2*2 = 2**3 som jeg lovede.
***udsagnet ‘sættet af undergrupper’ kan være lidt skræmmende. For at føle dig lidt mere komfortabel skal du først forsikre dig selv om, at en delmængde er et fornuftigt matematisk objekt. Hvis jeg har nogle matematiske objekter, kan jeg gruppere nogle af dem sammen og udelade andre. Du kan se det originale sæt som alle dine fodboldspillere, og sæt af undergrupper som alle potentielle hold, du kan lave fra disse spillere, af enhver størrelse. Når vi kommer til et ‘uendeligt’ antal spillere, kan tingene blive lidt sværere at konceptualisere, men grundideen er den samme.***
men Cantor havde sat sine seværdigheder større. Hvad med sæt med et uendeligt antal elementer? Kan vi sammenligne størrelsen på to sæt med et uendeligt antal elementer? (Spoiler: Ja.)
Trin II: beviset
Cantor antager, at du har fundet en parring, der fungerer.
det vil sige, du har en funktion, som du lægger i et element i et sæt, og output er en delmængde. Ikke kun det, men for hver delmængde kan du pege på et element, der bliver ‘kortlagt’ eller ‘sendt’ af funktionen i den delmængde. Der sendes heller ikke to elementer til den samme delmængde.
i eksemplet ovenfor kan nogen foreslå den funktion, der sender 1 til sættet {1}, 2 til sættet {2,3} og 3 til sættet {1,2}. Men intet er sendt til {1,2,3} så klart dette virker ikke.
for at generalisere dette beder Cantor os om at overveje ‘det sæt elementer, der ikke er indeholdt i den delmængde, de er kortlagt til’. F. eks., i ovenstående 3 sendes til {1,2} Men 3 er ikke i {1,2} så passer kriteriet pænt.
i vores matematiske sætteoretiske dateringsfunktion har dette sæt også brug for en partner. Men hvem kan være dette sæts partner? Hvis et element sendes til dette sæt, så hvis det er indeholdt i det sæt, kan det ikke være. (dvs. en modsigelse). Hvorfor? Fordi det derefter er indeholdt i delmængden af elementer, blev det kortlagt til! Hvad med hvis det ikke er i det sæt? Så er det også en modsigelse, som om det ikke er i sættet, ved definitionen af sættet, skal det være i sættet, fordi det ikke er indeholdt i den delmængde, det er kortlagt til.
og så er Cantors sorte magi færdig. Ved at antage vores magiske matematiske dating funktion fungerede, vi fandt et eksempel, hvor det ikke kunne fungere.